高中数学2014数学高考疯狂时刻引领状元之路：概率、随机变量及其分布列试卷及答案

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2014高中数学高考真题101296

高中

整体难度：偏难

2014-11-10

题号

一

二

三

四

五

评分

一、解答题 (共8题)

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如图,已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D,E,F,从A,B,C,D,E,F六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为X(三点共线时,规定X=0),求:

(1) P;

(2) E(X).

难度：

知识点：概率

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【答案】

(1) 从六个点中任取三个不同的点共有=20个基本事件,事件“X≥”所含基本事件有2×3+1=7个,从而P=.

(2) X的分布列为:

X	0	1
P

则E(X)=0×+×+×+1×=.

已知口袋中有3个白球、4个红球,每次从口袋中任取一球,如果取到红球,那么继续取球;如果取到白球,就停止取球,记取球的次数为X.

(1) 若取到红球再放回,求X不大于2的概率;

(2) 若取出的红球不放回,求X的分布列与数学期望.

难度：

知识点：概率

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【答案】

(1) 因为P(X=1)=,P(X=2)==,

所以P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=.

(2) 因为X的所有可能取值为1,2,3,4,5,

所以P(X=1)=,

P(X=2)=×=,

P(X=3)=××=,

P(X=4)=×××=,

P(X=5)=×××=.

所以X的分布列为:

X	1	2	3	4	5
P

所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=2.

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.

(1) 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;

(2) 设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).

难度：

知识点：概率

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【答案】

(1) 由题知,两个系统都发生故障的概率为1-=,即·p=,

解得p=.

(2) 由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,则

P(ξ=0)==,

P(ξ=1)=·=,

P(ξ=2)=·=,

P(ξ=3)==.

所以随机变量ξ的分布列为:

ξ	0	1	2	3
P

故随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.

在某电视台的一次有奖竞猜活动中,主持人准备了A,B两个相互独立的问题,并且宣布:幸运观众答对问题A可获100分,答对问题B可获200分,先答哪个题由观众自由选择,但只有第一个问题答对,才能再答第二题,否则终止答题.答题终止后,获得的总分将决定获奖的档次.若你被选为幸运观众,且假设你答对问题A,B的概率分别为,.