2019高中数学第二章推理与证明习题课（含解析）新人教A版选修1_2
高中
整体难度：中等
2019-04-13
题号
一
二
三
四
五
评分
一、解答题 (共4题)
添加该题型下试题
2.
阅读下列不等式的证法,并回答后面的问题.
已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:
.
证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,
则f(x)=2x2-2x+
.
∵x∈R,f(x)≥0恒成立,
∴Δ=4-8()≤0,∴
.
(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1(n∈N*),请写出上述结论的推广形式;
(2)参考上述证法,请对你推广的结论加以证明.
难度：
知识点：推理与证明
使用次数：112
【答案】
(1)解:若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1(n∈N*),
则+…+
(n∈N*).
(2)证明:构造函数g(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2,
则g(x)=nx2-2x++…+
.
∵x∈R,g(x)≥0恒成立,
∴Δ=4-4n(+…+)≤0,
∴+…+(n∈N*).
3.
.点M
在圆C:x2+y2=1上,经过点M的圆的切线方程为
x+y=1;又点Q(2,1)在圆C外部,容易证明直线2x+y=1与圆相交;点R
在圆C的内部,直线
x+y=1与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点P(a,b)与圆x2+y2=r2的位置关系与相应直线ax+by=r2与圆的位置关系的结论吗?并证明你的结论.
难度：
知识点：导数及其应用
使用次数：118
【答案】
解:点P(a,b)在☉C':x2+y2=r2上时,直线ax+by=r2与☉C'相切;
点P在☉C'内部时,直线ax+by=r2与☉C'相离;
点P在☉C'外部时,直线ax+by=r2与☉C'相交.
证明如下:圆x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离为d=
.
若(a,b)在圆内,则a2+b2<r2,所以d>r,所以直线与圆相离;
若(a,b)在圆上,则a2+b2=r2,所以d=r,所以直线与圆相切;
若(a,b)在圆外,则a2+b2>r2,所以d<r,所以直线与圆相交.
4.
设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.是否存在a1,d,使得a1,
依次构成等比数列?并说明理由.
难度：
知识点：推理与证明
使用次数：146
【答案】
解:令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).
假设存在a1,d,使得a1,
依次构成等比数列,
则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.
令t=
,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4
,
化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.
将t2=t+1代入(*)式,
得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-
.
显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在a1,d,使得a1,依次构成等比数列
二、选择题 (共3题)
添加该题型下试题
1.
设m是一个非负整数,m的个位数记作G(m),如G(2 017)=7,G(12)=2,G(50)=0,称这样的函数为尾数函数,给出下列有关尾数函数的结论:①G(a-b)=G(a)-G(b);②∀a,b,c∈N,若a-b=10c,则有G(a)=G(b);③G(a·b·c)=G(G(a)·G(b)·G(c)),则正确结论的个数为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
难度：
知识点：推理与证明
使用次数：123
【答案】
B
解析:令a=12,b=8,则G(a-b)=G(a)-G(b),显然①错;令x,y,z为小于10的自然数,m,n,k为自然数,a=10m+x,b=10n+y,c=10k+z,由∀a,b,c∈N,若a-b=10c,可知x-y=0,即a与b的个位数相同,因此G(a)=G(b),②正确;显然的个位数由这三个数的个位数的积来确定的,因此③正确.
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试题总数：
10
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
4
40.0%
容易
6
60.0%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
4
40.0%
选择题
3
30.0%
填空题
3
30.0%
知识点统计
知识点
数量
占比
推理与证明
8
80.0%
统计案例
1
10.0%
导数及其应用
1
10.0%
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