2020吉林高一上学期高中数学期末考试137803
高中
整体难度：中等
2020-10-14
题号
一
二
三
四
五
评分
一、解答题 (共6题)
添加该题型下试题
1.
已知圆C过点
且圆心在直线
上
（1）求圆C的方程
（2）设直线
与圆C交于A、B两点，是否存在实数a使得过点P（2，0）的直线
垂直平分AB？若存在，求出a值，若不存在，说明理由．
难度：
知识点：圆与方程
使用次数：128
【答案】
（1）x2+y2-6x+4y+4=0（2）不存在实数
【解析】
【详解】（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0
则有
解得
∴圆C的方程为：x2+y2-6x+4y+4=0
（2）设符合条件的实数存在，
由于l垂直平分弦
，故圆心
必在l上．
所以l的斜率
，
而
， 所以
．
把直线ax-y+1=0 即y=ax +1．代入圆
的方程，
消去
，整理得
．
由于直线
交圆于
两点，
故
，
即
，解得
．
则实数的取值范围是
．
由于
，
故不存在实数，使得过点
的直线l垂直平分弦．
2.
对于函数
,
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）是否存在实数a，使函数
为奇函数？证明你的结论
难度：
知识点：基本初等函数I
使用次数：168
【答案】
（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
(1)函数为R上的增函数．证明如下：
函数的定义域为R，对任意
，
. …………………………………4分
因为
是R上的增函数，
，所以
，…………………………6分
所以
＜０即
，函数为R上的增函数. ……………8分
(2)存在实数a＝1，使函数为奇函数． ………………………10分
证明如下：
当a＝1时，
.
任意
，
，即为奇函数．…14分
3.
如图，已知四棱锥
的底面
是菱形，
平面，点
为
的中点.
（1）求证：
∥平面
；
（2）求证：
.
难度：
知识点：点 直线 平面之间的位置
使用次数：116
【答案】
（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】(1)设BD与AC交于点O,利用三角形的中位线性质可得
,从而证明
平面;(2)由
平面,得
,根据菱形的性质可得
,从而证得
平面
,进而.
试题解析：（1）连结
交
于
，连结
，点，
分别为
的中点，所以为
的中位数，
，又
面，
面，所以
面.
（2）在菱形中，
，又因为面，
面，所以，又
，
面，所以面，又
面，所以
.
4.
已知函数定义在
上
奇函数，当
时，
.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于
的不等式
.
难度：
知识点：集合与函数的概念
使用次数：146
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）设
，则
，然后借助于函数为奇函数，进行求解即可．
（2）根据（1）中函数的解析式，分当时和当时两种情况，讨论不等式成立的的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】解：（1）设，则
因为当时，.
所以
因为是奇函数，所以
所以
所以
（2）因为，则有
或
即：
或
解得：
或
所以原不等式的解集为
【点睛】本题重点考查了函数的奇偶性与函数的解析式相结合知识点，涉及到指数的运算性质，属于中档题．
5.
己知直线的方程为
．
（1）求过点
，且与直线垂直的直线
方程；
（2）求与直线平行，且到点
的距离为
的直线
的方程
难度：
知识点：直线与方程
使用次数：163
【答案】
（1）
（2）
【解析】
直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；
设所求直线方程为
，由于点
到该直线的距离为，可得
，解出
或
，即可得出答案；
解析：（1）∵直线的斜率为
，∴所求直线斜率为
，
又∵过点
，∴所求直线方程为
，
即
．
（2）依题意设所求直线方程为，
∵点
到该直线的距离为，
∴，解得或，
所以，所求直线方程为
或
．
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试题总数：
22
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
3
13.63%
容易
16
72.72%
基础
3
13.63%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
6
27.27%
填空题
4
18.18%
选择题
12
54.54%
知识点统计
知识点
数量
占比
圆与方程
2
9.09%
基本初等函数I
7
31.81%
点 直线 平面之间的位置
4
18.18%
集合与函数的概念
5
22.72%
直线与方程
1
4.54%
空间几何体
2
9.09%
球面上的几何
1
4.54%
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