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高中数学2020年知识点整理——新文化试题分类训练题【含详解】
年级:高中
难度:中等
更新时间:2021-01-06
下载:105次
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一、选择题(共70题)
1.

据记载,欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为数学中的天桥”.特别是当时,得到一个令人着迷的优美恒等式,这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底e,圆周率,虚数单位,自然数的单位1和零元0)联系到了一起,有些数学家评价它是最完美的公式”.根据欧拉公式,若复数z=的共轭复数为,则   

A        B         C           D

【答案】

A

【分析】

根据欧拉公式,代入可得复数,化简后由共轭复数定义即可得.

【详解】

欧拉公式

根据共轭复数定义可知

故选:A.

【点睛】

本题考查了数学文化与简单应用,复数的相关概念和共轭复数定义,属于基础题.

组卷:152次
难度:容易
知识点:数系的扩充与复数的引入
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2.

我国古代数学著作《九章算术》中记载问题:今有垣厚八尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日半尺,大鼠日增倍,小鼠日自半,问几何日相逢?,意思是今有土墙厚8尺,两鼠从墙两侧同时打洞,大鼠第一天打洞一尺,小鼠第一天打洞半尺,大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍,小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半,问两鼠几天打通相逢?两鼠相逢需要的天数最小为(    )

A2                           B3                           C4                           D5

【答案】

C

【分析】

设需要n天时间才能打通相逢则有+≥8,2n﹣8≥0,解不等式即可得出.

【详解】

设需要n天时间才能打通相逢,则+≥8,

化为:2n﹣8≥0,2n=t,(舍去)或

∴2n>8, ∴n>3,n的最小整数为4.

故选C

【点睛】

本题考查了等比数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

组卷:156次
难度:中等
知识点:数列
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3.

古希腊数学家阿基米德利用逼近法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点,焦点均在轴上,的面积为,且短轴长为,则的标准方程为(   

A          B          C          D

【答案】

B

【分析】

根据逼近法求椭圆的面积公式,及短轴长为,即可求得的值,进而由焦点在轴上可得的标准方程.

【详解】

由题意可得

解得

因为椭圆的焦点在轴上,所以的标准方程为.

故选:B.

【点睛】

本题考查了数学文化,椭圆的几何性质及标准方程求法,属于基础题.

组卷:193次
难度:容易
知识点:圆锥曲线与方程
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4.

我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理:幂势既同,则积不容异.意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积都相等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件,若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一,则该几何体的体积为(   

Aπ                  Bπ                  C4                  D

【答案】

A

【分析】

由题意可得该几何体的体积与圆锥相同,结合圆锥侧面展开图的特征可求得圆锥的母线与底面半径的长度,进而可得圆锥的高,代入圆锥体积公式即可得解.

【详解】

由题意可知,该几何体的体积等于圆锥的体积,

圆锥的侧面展开图恰为一个半径为3的圆的三分之一,

圆锥的底面周长为

圆锥的底面半径为1,母线长为3

圆锥的高为

圆锥的体积圆锥

从而所求几何体的体积为

故选:A

【点睛】

本题考查了数学文化与圆锥体积的求法,考查了圆锥侧面展开图的特征,正确理解题意是解题的关键,属于基础题.

组卷:121次
难度:容易
知识点:空间几何体
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5.

九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,它用九个圆环相连成串,以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载:两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合面为一.在某种玩法中,用an表示解下nn≤9nN*)个圆环所需的移动最少次数,若a11.且an,则解下5个环所需的最少移动次数为(   

A7                           B13                          C16                         D22

【答案】

C

【分析】

根据已知的递推关系求,从而得到正确答案.

【详解】

,

所以解下5个环所需的最少移动次数为16.

故选:C

【点睛】

本题考查以数学文化为背景,考查递推公式求指定项,属于基础题型.

组卷:172次
难度:基础
知识点:数列
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6.

打印属于快速成形技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术(即积层造型法).过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型,现正用于一些产品的直接制造,特别是一些高价值应用(比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等).已知利用打印技术制作如图所示的模型.该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上),圆锥底面直径为,母线与底面所成角的正切值为.打印所用原料密度为,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量约为(    )(取,精确到0.1

A                B                C                D

【答案】

C

【分析】

作出圆锥的轴截面,截正方体得对角面,由这个轴截面中可计算出正方体的棱长和圆锥的高,再由体积公式计算出体积.体积乘密度即得质量.

【详解】

如图,是几何体的轴截面,因为圆锥底面直径为,所以半径为

因为母线与底面所成角的正切值为,所以圆锥的高为

设正方体的棱长为,则,解得

所以该模型的体积为

所以制作该模型所需原料的质量为

故选:C

【点睛】

本题考查求组合体的体积,掌握圆锥与正方体的体积公式是解题关键.

组卷:200次
难度:中等
知识点:空间几何体
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7.

《九章算术》大约成书于公元一世纪,是我国古代第一部数学著作,共收藏了246个与生产实践有关的应用问题,其中有一题:今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?其意:现有一根金杖,五尺长,一头粗,一头细,在粗的一端截下一尺,重量为四斤,在细的一端截下一尺,重量为二斤.问依次每一尺各有多重?假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列斤,则   

A2.5                    B2.75                   C3                       D3.5

【答案】

D

【分析】

由题意可求出等差数列的公差,结合等差数列的通项公式,即可求出第二项的值.

【详解】

解:由题意可知,斤,斤,则公差斤,

.

故选:D.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式.本题的关键是公差的求解.

组卷:186次
难度:中等
知识点:数列
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8.

远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即结绳计数,就是现在我们熟悉的进位制,下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满五进一,根据图示可知,孩子已经出生的天数是(   

A                       B                        C                        D

【答案】

B

【分析】

根据题意可得孩子已经出生天数的五进制数为,化为十进制数即可得出结果.

【详解】

由题意可知,孩子已经出生的天数的五进制数为,化为十进制数为.

故选:B.

【点睛】

本题考查五进制数化为十进制数,考查计算能力,属于基础题.

组卷:189次
难度:基础
知识点:框图
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9.

元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题:今有银一秤一斤十两(斤,两),令甲、乙、丙从上作折半差分之,问:各得几何?其意思是:现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变,按此法将银依次分给个人,则得银最少的一个人得银(   

A                      B                  C                  D

【答案】

B

【分析】

先计算出银的质量为两,设分银最少的为两,由题意可知人的分银量构成首项为,公比为的等比数列,利用等比数列的求和公式可求得的值.

【详解】

共有银两,

设分银最少的为两,则人的分银量构成首项为,公比为2的等比数列,

故有,所以

故选:B

【点睛】

本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景,贴近生活,考查了等比数列的求和问题,本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力,属中等题.

组卷:122次
难度:中等
知识点:数列
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10.

宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于松竹并生的问题:松长六尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,何日竹逾松长?如图是解决此问题的一个程序框图,其中a为松长、b为竹长,则菱形框与矩形框处应依次填(   

Aa<b?;a=a                                           Ba<b?;a=a+2a

Cab?;a=a                                          Dab?;a=a+2a

【答案】

C

【分析】

由程序框图模拟程序的运行,结合题意即可得解.

【详解】

竹逾松长,意为竹子比松高,即a<b

但这是一个含当型循环结构的程序框图,当不满足条件时,退出循环,故菱形框中条件应为ab?,

松日自半,则表示松每日增加一半,即矩形框应填a=a.

故选:C

【点睛】

本题考查数学文化和补全程序框图相结合的综合问题,重点考查理解题意,并能正确模拟程序运行,属于基础题型.

组卷:170次
难度:容易
知识点:框图
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11.

德国著名的天文学家开普勒说过:几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金中,.根据这些信息,可得   

A               B                C                 D

【答案】

C

【分析】

计算出,然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出的值,即可得出合适的选项.

【详解】

因为是顶角为的等腰三角形,所以,

,所以,.

故选:C.

【点睛】

本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值,考查计算能力,属于中等题.

组卷:123次
难度:中等
知识点:三角函数
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12.

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》中有如下两个问题:

(三三)今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?

(三四)又有宛田,下周九十九步,径五十一步.问为田几何?

翻译为:(三三)现有扇形田,弧长30步,直径长16.问这块田面积是多少?

(三四)又有一扇形田,弧长99步,直径长51.问这块田面积是多少?

则下列说法正确的是(   

A问题(三三)中扇形的面积为240平方步     B问题(三四)中扇形的面积为平方步

C问题(三三)中扇形的面积为60平方步       D问题(三四)中扇形的面积为平方步

【答案】

B

【分析】

根据题意,利用扇形的面积公式求解即可.

【详解】

依题意,问题(三三)中扇形的面积为平方步,

问题(三四)中扇形的面积为平方步.

故选:B

【点睛】

本题考查数学文化和扇形的面积公式;考查运算求解能力;熟练掌握扇形的面积公式是求解本题的关键;属于基础题.

组卷:188次
难度:容易
知识点:三角函数
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13.

中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为(   

A3                       B6                       C9                       D12

【答案】

C

【分析】

根据题意转化成等差数列问题,再根据等差数列下标的性质求.

【详解】

由题意可知金锤每尺的重量成等差数列,设细的一端的重量为,粗的一端的重量为,可知

根据等差数列的性质可知

中间三尺为.

故选:C

【点睛】

本题考查数列新文化,等差数列的性质,重点考查理解题意,属于基础题型.

组卷:167次
难度:容易
知识点:数列
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14.

古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出相等的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有阴眼,阴鱼的头部有个阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.2(正八边形)是由图1(八卦模型图)抽象而得到,并建立如下平面直角坐标系,设.则下述四个结论:以直线为终边的角的集合可以表示为以点为圆心、为半径的圆的弦所对的弧长为中,正确结论的个数是(   

    

A                          B                          C                          D

【答案】

B

【分析】

根据终边相同的角的定义可判断命题的正误;利用扇形的弧长公式可判断命题的正误;利用平面向量数量积的定义可判断命题的正误;利用平面向量的坐标运算可判断命题的正误.

【详解】

对于命题,以直线为终边的角的集合可以表示为,命题错误;

对于命题,以点为圆心、为半径的圆的弦所对的弧长为,命题正确;

对于命题,由平面向量数量积的定义可得,命题错误;

对于命题,易知点,所以,,命题正确.

故选:B.

【点睛】

本题以数学文化为背景,考查了终边相同的角的集合、扇形的弧长、平面向量数量积的定义以及平面向量的坐标运算,考查计算能力,属于基础题.

组卷:149次
难度:容易
知识点:平面向量
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15.

我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?意思是:一座层塔共挂了盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍,则塔的底层共有灯(   

A                    B                   C                   D

【答案】

C

【分析】

设塔的顶层共有盏灯,第层的灯有盏,则数列是公比为的等比数列,利用等比数列的前项和公式可求得的值,进而可求得塔的底层的灯的盏数.

【详解】

设塔的顶层共有盏灯,第层的灯有盏,则数列是公比为的等比数列,

由题意可知,一座层塔所挂的灯的盏数为,解得.

因此,塔的底层的灯的盏数为.

故选:C.

【点睛】

本题考查等比数列及其前项和基本量的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.

组卷:177次
难度:中等
知识点:数列
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16.

十九世纪下半叶集合论的创立,莫定了现代数学的基础.著名的康托三分集是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间均分为三段,去掉中间的区间段,记为第一次操作;再将剩下的两个区间,分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;,如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是康托三分集.若使去掉的各区间长度之和不小于,则需要操作的次数的最小值为(    )参考数据:

A3                           B4                           C5                           D6

【答案】

B

【分析】

依次求出第次去掉的区间长度之和,这个和构成一个等比数列,再求其前项和,列出不等式解之可得.

【详解】

第一次操作去掉的区间长度为;第二次操作去掉两个长度为的区间,长度和为;第三次操作去掉四个长度为的区间,长度和为次操作去掉个长度为的区间,长度和为.于是进行了次操作后,所有去掉的区间长度之和为,由题意,,即,解得:,又为整数,所以的最小值为4.

故选:B.

【点睛】

本题以数学文化为背景,考查等比数列通项、前项和等知识及估算能力.

组卷:198次
难度:中等
知识点:数列
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17.

南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:幂势既同,则积不容异.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为,则命题相等是命题总相等的(   

 

A充分不必要条件                                       B必要不充分条件

C充要条件                                                  D既不充分也不必要条件

【答案】

B

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义,结合祖暅原理进行判断即可.

【详解】

由祖暅原理可知,若总相等,则相等,即必要性成立;

假设夹在两平行平面间的底面积为的棱柱和底面积为的棱锥,它们的体积分别为,则

这两个几何体被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为,但不总相等,即充分性不成立.

因此,命题是命题的必要不充分条件.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合祖暅原理是解本题的关键,考查推理能力,属于中等题.

组卷:124次
难度:中等
知识点:常用逻辑用语
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18.

《张丘建算经》是我国古代数学名著,书中有如下问题今有懒女不善织,日减功迟,初日织七尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何?”其意思为:有个懒惰的女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织七尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布多少尺(   

A90                         B120                        C140                        D150

【答案】

B

【分析】

引入数列后,相当于一个等差数列,求.由等差数列的前项和公式计算.

【详解】

设第天织布尺,则是等差数列,

所以.

故选:B.

【点睛】

本题考查等差数列的前项和,解题关键是由已知文字抽象出数学语言,用数学知识解决实际问题.

组卷:121次
难度:容易
知识点:数列
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19.

《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为堑堵.已知某堑堵的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该堑堵的侧面积为(   

A                                                            B

C                                                   D

【答案】

D

【分析】

利用三视图还原原几何体,结合三视图中的数据可计算出该堑堵的侧面积.

【详解】

由三视图还原原几何体如下图所示:

由三视图可知,该几何体是直三棱柱,底面是腰长为的等腰直角三角形,且直三棱柱的高为

因此,该堑堵的侧面积为.

故选:D.

【点睛】

本题考查利用三视图计算几何体的侧面积,一般要求还原原几何体,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.

组卷:193次
难度:容易
知识点:空间几何体
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20.

攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖,清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑.如图所示,某园林建筑为六角攒尖,它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥,若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为,则侧棱与底面外接圆半径的比为(   

A                  B                 C                 D

【答案】

A

【分析】

根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.

【详解】

正六棱锥的底面为正六边形,设其外接圆半径为,则底面正边形的边长为

因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为

所以侧棱长为

所以侧棱与底面外接圆半径的比为.

故选:A

【点睛】

关键点点睛:掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.

组卷:143次
难度:基础
知识点:空间几何体
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21.

数列称为斐波那契数列,是意大利著名数学家斐波那契于年在他撰写的《算盘全书》中提出的,该数列的特点是:从第三项起,每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前项中,偶数的个数为(   

A                      B                      C                       D

【答案】

B

【分析】

由斐波那契数列的特点可知,该数列只有第项为偶数,再由可求得结果.

【详解】

由斐波那契数列的特点,可得此数列只有第项为偶数,

由于,所以前项中偶数的个数为

故选:B.

【点睛】

本题考查斐波那契数列的应用,考查推理能力,属于基础题.

组卷:181次
难度:容易
知识点:数列
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22.

已知数列的前项和为,把的前项和称为和谐和,用来表示,对于,其和谐和等于(   

A       B         C        D

【答案】

A

【分析】

由题意结合等比数列的前n项和公式可得,再利用分组求和法即可得解.

【详解】

数列是首项为,公比为的等比数列,

故选:A.

【点睛】

本题考查了等比数列前n项和公式的应用,考查了分组求和法求数列前n项和的应用及运算求解能力,关键是对公式的熟练使用和对题意的正确理解,属于中档题.

组卷:164次
难度:中等
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23.

《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺,前七个节气日影之和为七丈三尺五寸,问立夏日影长为(   

A七尺五寸               B六尺五寸               C五尺五寸               D四尺五寸

【答案】

D

【分析】

利用等差数列的通项公式以及求和公式列出方程组,求出首项和公差,由此可求得立夏日影长.

【详解】

从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺,前七个节气日影之和为七丈三尺五寸,

设十二节气第个节气的日影长为,则数列为等差数列,设其公差为,前项和为

,解得

,因此,立夏日影长为四尺五寸.

故选:D.

【点睛】

本题考查新文化中的等差数列问题,考查等差数列与前项和中基本量的计算,考查计算能力,属于基础题.

组卷:143次
难度:容易
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24.

干支纪年法是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为十天干,子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做十二地支”.“天干字开始,地支字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅、.癸酉,甲戌、乙亥、子、.癸未,甲申、乙酉、丙戌、癸巳,共得到60个组合,周而复始,循环记录.2010年是干支纪年法中的庚寅年,那么2019年是干支纪年法中的(   

A己亥年                  B戊戌年                   C庚子年                  D辛丑年

【答案】

A

【分析】

根据干支纪年法依次写出2011-2019年的干支纪年,得到结果.

【详解】

2011年是辛卯年,2012年是玉辰年,2013年是癸已年,2014年是甲午年,2015年是乙未年,2016年是丙申年,2017年是丁酉年,2018年是戊戌年,2019年是己亥年.

故选:A

【点睛】

本题考查新定义,重点考查读懂题意,列举法,属于基础题型.

组卷:129次
难度:基础
知识点:计数原理
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25.

我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一,书中记载了他计算圆周率所用的方法.先作一个半径为1的单位圆,然后做其内接正六边形,在此基础上做出内接正边形,这样正多边形的边逐渐逼近圆周,从而得到圆周率,这种方法称为刘徽割圆术.现设单位圆的内接正边形的一边为,点为劣弧的中点,则是内接正边形的一边,现记,则(   

A                              B

C                             D

【答案】

A

【分析】

方法一,可以设,则在中,由余弦定理得,设相交于点,则,利用三角函数的定义可得,代入上式化简求得结果;方法二,设相交于点,可以得到,且,所以,所以,利用勾股定理可得,从而求得结果.

【详解】

法一:设,则在中,由余弦定理得

相交于点,则

所以

故选:A.

法二:设相交于点,则

因为,所以

所以

所以

故选:A.

【点睛】

该题考查的是有关数学文化的知识,在解题的过程中,注意对圆中特殊三角形的应用,即半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形,还有余弦定理的应用,属于简单题目.

组卷:110次
难度:中等
知识点:三角函数
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26.

《张丘建算经》卷上第题为:今有女善织,日益功疾(注:从第天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织尺布,现一月(按天计)共织,则从第天起每天比前一天多织(   

A尺布                 B尺布                 C尺布                 D尺布

【答案】

D

【分析】

设该女子第尺布,前天工织布尺,则数列为等差数列,设其公差为,根据可求得的值.

【详解】

设该女子第尺布,前天工织布尺,则数列为等差数列,设其公差为

由题意可得,解得.

故选:D.

组卷:177次
难度:容易
知识点:数列
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27.

玉琮是中国古代玉器中重要的礼器,神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器,年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高,孔径、外径.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像.兽面的两侧各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体,内圆外方,上下端为圆面的射,中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位:)(   

A                   B                    C                   D

【答案】

D

【分析】

该神人纹玉琮王可看做是一个底面边长为,高为的正四棱柱中挖去一个底面直径为,高为的圆柱,利用圆柱的体积公式计算即可.

【详解】

由题可知,该神人纹玉琮王可看做是一个底面边长为,高为的正四棱柱中挖去一个底面直径为,高为的圆柱,此时求得体积记为

cm3

记该神人纹玉琮王的实际体积为

且由题意可知, cm3

故选:D.

【点睛】

本题考查了组合体体积的计算以及柱体体积的计算公式,考查了转化能力,属于中档题.

组卷:138次
难度:中等
知识点:空间几何体
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28.

我国古代数学家提出的中国剩余定理又称孙子定理,它在世界数学史上具有光辉的一页,堪称数学史上名垂百世的成就,而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题,其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用,为世界数学的发展做出了巨大贡献,现有这样一个整除问题:将120202020个整数中能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,那么此数列的项数为(   

A133                       B134                        C135                        D136

【答案】

C

【分析】

由题意可得,令,可求出的范围,即可得项数.

【详解】

由数能被3除余2且被5除余2的数就是能被15除余2的数,

,得

故此数列的项数为:135

故选:C

【点睛】

本题考查数列的应用,属于基础题.

组卷:188次
难度:容易
知识点:数列
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29.

我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副弦图,后人称其为赵爽弦图.下图是在赵爽弦图的基础上创作出的一个数学风车,其中正方形内部为赵爽弦图,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为风叶,若从该数学风车的八个顶点中任取两点,则该两点取自同一片风叶的概率为(   

A                         B                         C                        D

【答案】

A

【分析】

利用组合数计算出基本事件的总数,以及事件所选的两个顶点取自同一片风叶””所包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

数学风车的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有种,

其中这两个顶点取自同一片风叶的基本事件有种,故所求概率.

故选:A.

【点睛】

本题考查数学文化与古典概型,考查运算求解能力,属于基础题.

组卷:130次
难度:容易
知识点:计数原理
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30.

《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,书中有如下问题:今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?其意思为:在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为尺,米堆的高为尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?已知斛米的体积约为立方尺,圆周率约为,估算出堆放的米有多少斛(   

A                        B                        C                        D

【答案】

B

【分析】

设底面扇形所在圆的半径长为尺,利用圆弧长求得的值,再利用锥体的体积公式可求得结果.

【详解】

设底面扇形所在圆的半径长为尺,

底面扇形是圆心角为直角的扇形,其弧长为尺,则,可得

所以,这个米堆的体积为(立方尺),约(斛).

故选:B.

【点睛】

本题考查锥体体积的相关计算,考查计算能力,属于基础题.

组卷:159次
难度:容易
知识点:空间几何体
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31.

刘徽注《九章算术·商功》中,将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马.如图,是一个阳马的三视图,则其外接球的半径为(   

A                       B3                           C                      D4

【答案】

C

【分析】

将其置入到长方体中,利用长方体体对角线为外接球的直径来解决.

【详解】

由三视图可知,该几何体为四棱锥,底面是一个正方形,设四棱锥外接球的半径为

将其置入到长方体中,如图所示

易得,所以

所以.

故选:C

【点睛】

本题考查三视图及几何体外接球的问题,比较特殊的锥体,通常要考虑是否能够置入到长方体或正方体中来解决,查学生的空间想象能力,是一道容易题.

组卷:118次
难度:容易
知识点:空间几何体
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32.

斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一,并为中国所持有,图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图,图三是斗拱构件之一的的几何体,本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等,宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成.若棱台两底面面积分别是,高为,长方体形凹槽的高为,斗的密度是.那么这个斗的质量是(

A                 B                 C                 D

【答案】

C

【分析】

根据题意,求出的体积,再乘以密度可得出的质量.

【详解】

由题意可知,棱台的体积为

设长方体的长为,宽为,则,则原长方体的高为

所以,长方体凹槽的体积为

所以,的体积为

因此,的质量为.

故选:C.

【点睛】

本题主要考查组合体体积的计算,同时也跨学科考查了质量、密度与体积之间的关系,考查计算能力,属于基础题.

组卷:113次
难度:容易
知识点:空间几何体
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33.

我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,始与岸齐,问水深、葭长各几何?意思是说:有一个边长为丈的正方形水池,在池的正中央长着一根芦苇,芦苇露出水面尺.若将芦苇拉到池边中点处,芦苇的顶端恰好到达水面.问水有多深?芦苇多长?该题所求的水深为(   

A                    B                     C                      D

【答案】

A

【分析】

设水深为尺,根据题意列出有关的方程,进而可求得的值,即可得出结论.

【详解】

设水深为尺,依题意得,解得

因此,水深为.

故选:A.

【点睛】

本题考查中国数学史,考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于基础题.

组卷:119次
难度:容易
知识点:空间几何体
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34.

将正整数12分解成两个正整数的乘积有三种,其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称12的最佳分解.(p)是正整数n的最佳分解时,我们定义函数,例如,则数列的前2020项和为(   

A                B                     C                 D

【答案】

A

【分析】

按照为偶数、为奇数分类,再结合等比数列的前n项和公式即可得解.

【详解】

为偶数时,;当为奇数时,

所以数列的前2020项和

.

故选:A.

【点睛】

本题考查了数学文化及等比数列前n项和公式的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.

组卷:175次
难度:容易
知识点:数列
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35.

古希腊时期,人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形,把这个比值称为黄金分割比例.下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点,图中的矩形均近似为黄金矩形.间的距离大于18.7m间的距离小于12m.则该古建筑中间的距离可能是(    )(参考数据:

A29m                      B29.8m                    C30.8m                    D32.8m

【答案】

C

【分析】

由矩形是黄金矩形,由边长的比求出范围即可得.

【详解】

由黄金矩形的定义可知,所以,即,对照各选项,只有C符合.

故选:C

【点睛】

本题考查数学文化,考查学生的阅读理解能力,转化与化归能力,创新意识.属于基础题.

组卷:178次
难度:容易
知识点:不等式
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36.

对于函数,若存在,使,则称是函数图象的一对隐对称点”.已知函数,函数的图象恰好存在两对隐对称点,则实数的取值范围为(   

A                 B              C     D

【答案】

A

【分析】

由题意转化条件得可得函数的图象有两个交点,进而可得函数的图象有两个交点,结合导数可画出两函数的图象,结合导数的几何意义数形结合即可得解.

【详解】

关于y轴的对称函数为

由题意可得方程有两个不等实根,

函数的图象有两个交点,

函数的图象有两个交点,

,则

时,单调递增;

时,单调递减;

恒过点,当时,

在同一坐标系中作出函数的图象,如图,

由图象可知,若函数的图象有两个交点,则

当直线为函数图象的切线时,由可得

.

故选:A.

【点睛】

本题考查了导数的应用及函数与方程的综合应用,考查了转化化归思想及数形结合思想,属于中档题.

组卷:141次
难度:中等
知识点:基本初等函数I
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37.

我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律,即是现代在钢琴的键盘上,一个八度音程从一个c键到下一个键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理,也即高音的频率正好是中音c2.已知标准音的频率为440Hz,那么频率为的音名是(   

Ad                           Bf                            Ce                           D#d

【答案】

D

【分析】

设频率为的音名为等比数列的首项,标准音为第项,由等比数列的性质可得,即可得解.

【详解】

由题意可得从左到右的音频恰成一个公比为的等比数列,

设频率为的音名为等比数列的首项,标准音为第项,

,解得

从标准音开始,往左数7个的音名是#d.

故答案为:D.

【点睛】

本题考查了等比数列的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.

组卷:169次
难度:容易
知识点:数列
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38.

阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为,动点满足,当不共线时,面积的最大值是(   

A                    B                       C                     D

【答案】

C

【分析】

建立直角坐标系,求出点P的轨迹方程,即可得解.

【详解】

以经过的直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系,如图,

,设

整理得

PABx轴)的距离最大值为

所以面积的最大值为.

故选:C.

【点睛】

本题考查了动点轨迹方程的求解,考查了运算求解能力,属于基础题.

组卷:152次
难度:容易
知识点:圆与方程
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39.

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周四尺. 高三尺.何积及为米几何?”其意思为:“ 在屋内墙角处堆放米,米堆底部的弧长为4.米堆的高为3尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有(



A7                       B3                       C9                       D12

【答案】

B

【分析】

根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.

【详解】

解:设圆锥的底面半径为,则
解得
故米堆的体积为
1斛米的体积约为1.62立方,

故选:B

【点睛】

本题主要考查椎体的体积的计算,比较基础.

组卷:150次
难度:容易
知识点:空间几何体
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40.

集合论是德国数学家康托尔(G.Cantor)于19世纪末创立的.在他的集合理论中,用表示有限集合中元素的个数,例如:,则.若对于任意两个有限集合,有.某校举办运动会,高一(1)班参加田赛的学生有14人,参加径赛的学生有9人,两项都参加的有5人,那么高一(1)班参加本次运动会的人数共有(   

A28                         B23                          C18                         D16

【答案】

C

【分析】

设参加田赛、径赛的同学组成集合,再由集合论即可得解.

【详解】

设参加田赛的学生组成集合A,则

参加径赛的学生组成集合B,则

由题意得

所以

所以高一(1)班参加本次运动会的人数共有.

故选:C.

【点睛】

本题考查了数学文化与集合运算的综合应用,考查了转化化归思想,属于基础题.

组卷:133次
难度:容易
知识点:集合与函数的概念
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41.

《周髀算经》中给出了:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与雨水两个节气的日影长分别为尺和尺,现在从该地日影长小于尺的节气中随机抽取个节气进行日影长情况统计,则所选取这个节气中恰好有个节气的日影长小于尺的概率为(   

A                         B                         C                       D

【答案】

B

【分析】

设这十二节气中第个节气的日影长为尺,可知数列为等差数列,根据题意求得该数列的公差,确定数列中小于尺和小于尺的项,列举出所有的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

设这十二节气中第个节气的日影长为尺,

可知数列为等差数列,设其公差为

由题意得

.

,解得;令,解得.

从该地日影长小于尺的节气中随机抽取个节气,所有的基本事件有:,共个,

其中,事件所选取这个节气中恰好有个节气的日影长小于所包含的基本事件有:,共个,

因此,所求事件的概率为.

故选:B.

【点睛】

本题考查古典概型概率的计算,同时也考查了等差数列基本量的计算,考查计算能力,属于中等题.

组卷:184次
难度:中等
知识点:数列
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42.

《九章算术》中给出了解方程的遍乘直除的算法解方程组.比如对于方程组,将其中数字排成长方形形式,然后执行如下步骤:第一步,将第二行的数乘以3,然后不断地减第一行,直到第二行第一个数变为0;第二步,对第三行做同样的操作,其余步骤都类似.其本质就是在消元.那么其中的的值分别是(   

A244                    B174                    C240                    D170

【答案】

A

【分析】

根据题中所给的新定义,按照其要求计算即可求出结果.

【详解】

由题意可知,将每个数字乘以,分别得到,再将分别于对应相减可得,再将分别于对应相减可得,所以

再将每个数字乘以,分别得到,再将分别于对应相减可得,所以.

故选:A.

【点睛】

本题考查了新定义,理解新定义并运用新定义是解题关键,属于基础题.

组卷:155次
难度:基础
知识点:框图
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43.

饕餮(tāo tiè)纹,青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期,最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为,有一点点出发每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为(   

A                       B                         C                         D

【答案】

B

【分析】

列举出所有的基本事件,确定所求事件所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

点出发,每次向右或向下跳一个单位长度,

次的所有基本事件有:(右,右,右),(右,右,下),(右,下,右),(下,右,右),(右,下,下),(下,右,下),(下,下,右),(下,下,下),共种不同的跳法(线路),

符合题意的只有(下,下,右)这种,

所以次跳动后,恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为.

故选:B.

【点睛】

本题考查数学文化与古典概型,考查计算能力,属于基础题.

组卷:185次
难度:容易
知识点:概率
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44.

我们将称为黄金分割数,亦可简称为黄金数,将离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫做黄金双曲线,则(   

A黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项     B黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中项

C黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中项     D黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中项

【答案】

A

【分析】

根据条件分别将每个选项的条件转化为双曲线中的关系,即可判断是否正确.

【详解】

若双曲线为黄金双曲线,则满足,即

即虚轴是实轴与焦距的等比中项.

故选:A.

【点睛】

本题由黄金双曲线引入双曲线中实轴、虚轴、焦距之间的关系,只需要转化为之间的数量关系即可,是一道较易题.

组卷:118次
难度:容易
知识点:直线与方程
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45.

刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家,他提出割圆求周方法:当很大时,用圆内接正边形的周长近似等于圆周长,并计算出精确度很高的圆周率.在《九章算术注》中总结出割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣的极限思想.运用此思想,当3.1416时可得的近似值为(   

A0.00873                 B0.01745                  C0.02618                 D0.03491

【答案】

B

【分析】

根据圆内接正360边形的面积近似等于圆的面积列式可解得结果.

【详解】

设圆的半径为,取,则圆内接正360边形的每条边所对的圆心角为,以圆心为顶角的每个等腰三角形的面积为

根据360个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积可得

.

故选:B.

【点睛】

本题考查了极限思想,考查了三角形的面积公式,考查了数学文化,属于基础题.

组卷:135次
难度:容易
知识点:三角函数
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46.

《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证明,并称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F在半圆O上,且,点C在直径上运动.,则由可以直接证明的不等式为(   

A                      B

C                      D

【答案】

D

【分析】

分别表示,再由即可得解.

【详解】

不妨设点C在半径上运动.

由图形可知:

中,由勾股定理可得,

.

故选:D

【点睛】

本题考查了数学文化及基本不等式的证明,考查了运算求解能力,属于基础题.

组卷:155次
难度:容易
知识点:不等式
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47.

写算,是一种格子乘法,也是笔算乘法的一种,用以区别筹算与珠算,它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出,是从天元式的乘法演变而来.例如计算,将被乘数89计入上行,乘数65计入右行.然后以乘数65的每位数字乘被乘数89的每位数字,将结果计入相应的格子中,最后从右下方开始按斜行加起来,满十向上斜行进一,如图,即得5785.类比此法画出的表格,若从表内(表周边数据不算在内)任取一数,则恰取到奇数的概率是(   

A                       B                         C                        D

【答案】

A

【分析】

根据题意画出的表格,由古典概型概率公式即可求解.

【详解】

根据题意,结合范例画出的表格,从表格中可以看出,共有18个数,

其中奇数有5个,所以从表内任取一数,恰取到奇数的概率为

故选:A.

【点睛】

本题考查数学史与古典概型的综合应用,关键是根据题意正确画出表格,属于基础题.

组卷:168次
难度:容易
知识点:概率
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48.

我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是(   

A与首末两端等距离的两个二项式系数相等猜想:CnmCnnm

B在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和猜想:

Cn行所有数之和为2n猜想:Cn0Cn1Cn2Cnn2n

D111111121211131331猜想:11515101051

【答案】

D

【分析】

由组合数及二项式系数的性质可判断ABC,由二项式定理运算可判断D.

【详解】

对于A,由组合数的互补性质可得,故A正确;

对于B,由组合数的性质可得 B正确;

对于C,由二项式系数和的性质可得,故C正确;

对于D

D错误.

故选:D.

【点睛】

本题考查了数学文化及组合数、二项式定理、二项式系数的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.

组卷:174次
难度:容易
知识点:计数原理
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49.

高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有数学王子的美誉,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的高斯函数为:设,用表示不超过x的最大整数,则称为高斯函数,也称取整函数,例如:,已知,则函数的值域为(   

A            B                  C                 D

【答案】

A

【分析】

利用定义可知函数为奇函数,根据解析式可得,分三种情况讨论可求得结果.

【详解】

因为,所以

所以,即

因为

时,,所以,此时

时,,所以,此时

时,,此时,此时

所以函数的值域为.

故选:A

【点睛】

关键点点睛:利用函数为奇函数解题是本题解题关键.

组卷:133次
难度:中等
知识点:基本初等函数I
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50.

《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题:今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?其意思是:已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径是多少?现若向此三角形内投豆子,则落在其内切圆内的概率是(   

A                      B                       C                         D

【答案】

A

【分析】

根据直角三角形的内切圆半径为直角边,为斜边),求出圆的面积,再利用几何概型-面积比即可求解.

【详解】

由题意两直角边为,斜边

所以内切圆半径

所以落在其内切圆内的概率:

故选:A

【点睛】

本题考查了几何概型的概率计算公式-面积型,属于基础题.

组卷:195次
难度:容易
知识点:概率
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51.

《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题,术日:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=(弦×+×矢),弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形,公式中的指的是弧田弦的长,指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弧的距离之差,现有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其狐田弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米,则cos∠AOB=   

A                      B                       C                         D

【答案】

D

【分析】

利用弧田面积公式可求出矢长,继而求出半径和圆心到弧田弦的距离,则可求出cos∠AOD,由二倍角可求出cos∠AOB.

【详解】

如图,由题意可得:AB=6

弧田面积S=(弦×+2)=(6×+2)=平方米.

解得矢=1,或矢=-7(舍),

设半径为r,圆心到弧田弦的距离为d

,解得d=4r=5

∴cos∠AOD=

∴cos∠AOB=2cos2AOD-1=-1=

故选:D

【点睛】

本题考查传统文化题目,考查二倍角,属于基础题.

组卷:129次
难度:容易
知识点:三角恒等变换
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52.

我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的三斜求积公式:设内角ABC所对的边分别为abc,面积.若,则面积的最大值为(   

A                         B                         C                      D

【答案】

D

【分析】

由题意结合正弦定理可得,代入三角形面积公式,结合函数的性质即可得解.

【详解】

因为,所以

所以的面积

所以当时,面积取最大值

此时存在,

所以面积的最大值为.

故选:D.

【点睛】

本题考查了数学文化及正弦定理的应用,考查了二次函数性质的应用及运算求解能力,属于基础题.

组卷:147次
难度:容易
知识点:基本初等函数I
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53.

干支是天干(甲、乙、、癸)和地支(子、丑、、亥)的合称,干支纪年法是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元年,即输入,执行该程序框图,运行相应的程序,输出,从干支表中查出对应的干支为辛酉.我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元年,则该年所对应的干支为(   

六十干支表(部分)

戊辰

己巳

庚午

辛未

壬申

己未

庚申

辛酉

壬戌

癸亥

       

A戊辰                      B辛未                      C已巳                      D庚申

【答案】

A

【分析】

输出,计算输出结果,查表可得结果.

【详解】

输入,第一次循环,不成立;

第二次循环,不成立;

第三次循环,不成立;

由上可知,每执行一次循环后,的值对应地在上一次循环后的值中减去,则输出的的值为后的余数,

,则输出的的值为,因此,公元年对应的干支为戊辰.

故选:A.

【点睛】

本题考查数学文化中的干支纪年法,考查程序框图的应用,考查计算能力,属于中等题.

组卷:134次
难度:中等
知识点:框图
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54.

设地球表面某地正午太阳高度角为θξ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,则有θ90°|φξ|.根据地理知识,武汉地区的纬度值约为北纬30°,当太阳直射南回归线(此时的太阳直射纬度为﹣23°26')时物体的影子最长,如果在武汉某高度为h0的楼房北边盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡(如图所示),两楼的距离应至少约为h0的(    )倍?(注意tan36°340.75

A0.5                    B0.8                    C1                       D1.4

【答案】

D

【分析】

根据题目所述,先求得,解直角三角形,求出影长,求得答案.

【详解】

θ90°|φξ|90°|30°﹣(﹣23°26'|,设影长为,则

h01.4h0.

两楼的距离应至少约为h01.4.

故选:D.

【点睛】

本题以地理知识为背景的基础题,考查了学生的分析理解能力,运算能力,属于容易题.

组卷:184次
难度:基础
知识点:三角函数
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55.

最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高,商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理,如图所示,满足勾三股四弦五,其中股为弦上一点(不含端点),且满足勾股定理,则   

A                         B                         C                         D

【答案】

A

【分析】

首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高的长,再根据向量数量积公式转化,并计算的值.

【详解】

由题意可知,所以根据等面积转化可知,解得:

.

故选:A

【点睛】

本题考查向量数量积,向量夹角的余弦值,重点考查转化与化归的思想,计算能力,属于基础题型.

组卷:136次
难度:容易
知识点:平面向量
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56.

《几何原本》卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点在半圆上,点在直径上,且,设,则该图形可以完成的无字证明为(   

A                         B

C                          D

【答案】

D

【分析】

计算出,由可得出合适的选项.

【详解】

由图形可知,

由勾股定理可得

中,由可得.

故选:D.

【点睛】

本题考查利用几何关系得出不等式,考查推理能力,属于基础题.

组卷:158次
难度:容易
知识点:不等式
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57.

降雨量是气象部门观测的重要数据,日降雨量是指一天内降落在地面单位面积雨水层的深度(单位:毫米)我国古代就有关于降雨量测量方法的记载,古代数学名著《数书九章》中有天池盆测雨题:天池盆(圆台形状)盆口直径二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸若盆中积水深九寸,则平地降雨量是几寸(注:一尺等于十寸,一寸等于厘米)?已知某隧道的积水程度与日降水量的关系如下表所示:

日降雨量(单位:毫米)

(1540)

(4070)

(70120)

(120250)

隧道积水程度

一级

.二级

三级

四级

如果某天该隧道的日降水量按照天池盆测雨题中数据计算,则该隧道的积水程度为(   

A一级                      B二级                      C三级                      D四级

【答案】

C

【分析】

由题可知水刚好积在天池盆的中间处,根据圆台的体积公式求出积水的体积,进而可求出平地降雨量,即可得出结果.

【详解】

盆深一尺八寸,盆中积水深九寸,

水刚好积在天池盆的中间处,则积水的水面直径为寸,即半径为10寸,

则积水的体积

天池盆口的面积为

平地降雨量为寸,即厘米,即100毫米,

则该隧道的积水程度三级.
故选:C.

组卷:111次
难度:容易
知识点:空间几何体
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58.

是实数,定义:.若满足此不等式:,则的取值范围是(    )

A                                                      B

C                                                 D

【答案】

C

【分析】

,分别求 ,以及,当满足不等式时,求实数的取值范围.

【详解】

.

故选:C

【点睛】

本题考查新定义,重点考查观察,分析问题的能力,应用新定义的能力,本题的关键是设,然后再依次往后代入,解不等式.

组卷:172次
难度:偏难
知识点:不等式
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59.

2011年国际数学协会正式宣布将每年的314日设为国际数学节,来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率.现用我国何承天发明调日法来得到的近似数,其原理是设实数的不足近似值和过剩近似值为,则是更为精确的不足近似值或过剩近似值.若令,则第一次用调日法后得,它是的更为精确的不足近似值,即.若每次都取得简分数,则第次用调日法后的近似值为,则的值为(   

A2                           B3                           C4                           D5

【答案】

D

【分析】

按照调日法的基本原理进行运算、推导即可得到结果.

【详解】

第一次调日法后:;第二次调日法后:

第三次调日法后:;第四次调日法后:

第五调日法后:,此时的近似值为.

故选:.

【点睛】

本题考查数学史和新定义运算的问题,本质是考查根据程序框图循环结构计算循环体执行次数,属于基础题.

组卷:169次
难度:容易
知识点:框图
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60.

数学著作《孙子算经》中有这样一个问题:今有物不知其数,三三数之剩二(除以32),五五数之剩三(除以53),问物几何?现将120202020个整数中,同时满足三三数之剩二,五五数之剩三的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列则该数列共有(   

A132                   B133                    C134                   D135

【答案】

D

【分析】

由题意抽象出数列是等差数列,再根据通项公式计算项数.

【详解】

3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列,记为,则,令,解得:

所以该数列的项数共有135.

故选:D

【点睛】

关键点点睛:本题以数学文化为背景,考查等差数列,本题的关键是读懂题意,并能抽象出等差数列.

组卷:162次
难度:中等
知识点:数列
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61.

龙马负图、神龟载书图像如图甲所示,数千年来被认为是中华传统文化的源头;其中洛书有云,神龟出于洛水,甲壳上的图像如图乙所示,其结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足u,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数;若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个,则被抽到的3个数的数字之和超过16的概率为(



A                       B                       C                         D

【答案】

A

【分析】

由题可求出所有情况共40种,再求出满足条件的情况即可求出概率.

【详解】

依题意,阳数为13579,阴数为2468,故所有的情况有种,

其中满足条件的为,共13种,

故所求概率.

故选:A

组卷:130次
难度:容易
知识点:统计案例
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62.

瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABCABAC4,点B(13),点C(4,-2),且其欧拉线与圆M相切,则下列结论正确的是(   

AM上点到直线的最小距离为2

BM上点到直线的最大距离为3

C若点(xy)在圆M上,则的最小值是

D与圆M有公共点,则a的取值范围是

【答案】

ACD

【分析】

由题意结合欧拉线概念可得ABC欧拉线即为线段BC的垂直平分线,结合直线方程的知识可得线段BC的垂直平分线的方程,由直线与圆相切可得圆M的方程;由圆心到直线的距离可判断AB;令,由直线与圆相切可得z的最值,即可判断C;由圆与圆的位置关系即可判断D;即可得解.

【详解】

ABAC可得ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上,即ABC欧拉线即为线段BC的垂直平分线,

由点B(1,3),点C(4,2)可得线段BC的中点为,且直线的BC的斜率

所以线段BC的垂直平分线的斜率

所以线段BC的垂直平分线的方程为

又圆M的圆心为,半径为

所以点到直线的距离为

所以圆M

对于AB,圆M的圆心到直线的距离,所以圆上的点到直线的最小距离为,最大距离为,故A正确,B错误;

对于C,令,当直线与圆M相切时,圆心到直线的距离为,解得,则的最小值是,故C正确;

对于D,圆圆心为,半径为,若该圆与圆M有公共点,则,解得,故D正确.

故选:ACD.

【点睛】

本题考查了直线方程的求解及直线与圆、圆与圆位置关系的应用,考查了运算求解能力与转化化归思想,属于中档题.

组卷:109次
难度:中等
知识点:圆与方程
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63.

一般地,若函数的定义域为,值域为,则称为的倍跟随区间;若函数的定义域为,值域也为,则称跟随区间”.下列结论正确的是(   

A的跟随区间,则

B函数存在跟随区间

C若函数存在跟随区间,则

D二次函数存在“3倍跟随区间

【答案】

ABCD

【分析】

根据倍跟随区间的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.

【详解】

A, 的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得,因为.A正确;

B,因为函数在区间上均为减函数,故若存在跟随区间则有,解得:.

故存在, B正确.

C, 若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知,

,因为,所以.

易得.

所以,代入化简可得,同理也满足,在区间上有两根不相等的实数根.

,解得,C正确.

D,存在3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.,易得在区间上单调递增,此时易得为方程的两根,求解得.故存在定义域,使得值域为.

D正确.

故选:ABCD.

【点睛】

本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.

组卷:168次
难度:很难
知识点:基本初等函数I
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64.

中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将译做:函数,沿用至今,为什么这么翻译,书中解释说凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义,已知集合,给出下列四个对应法则,请由函数定义判断,其中能构成从的函数的是(   

A                 B              C                 D

【答案】

CD

【分析】

利用函数的定义逐项判断可得出合适的选项.

【详解】

A中,当时,,故A错误;

B中,当时,,故B错误;

C中,任取,总有,故C正确;

D中,任取,总有,故D正确.

故选:CD

【点睛】

本题考查函数的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.

组卷:104次
难度:基础
知识点:基本初等函数I
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65.

意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:.即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是(   

A               B是偶数           C D

【答案】

AC

【分析】

由该数列的性质,逐项判断即可得解.

【详解】

对于A,故A正确;

对于B,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B错误;

对于C,故C正确;

对于D

各式相加得

所以,故D错误.

故选:AC.

【点睛】

关键点点睛:解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.

组卷:106次
难度:中等
知识点:数列
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66.

定义在上函数对任意两个不相等的实数都有,则称函数函数,以下函数中函数的是(   

A                                             B

C                                     D

【答案】

BD

【分析】

由题意,函数单调递增,由常见函数的性质及利用导数判断选项即可.

【详解】

,故函数单调递增,

对于选项A在区间上递增,在区间上递减,故A不正确;

对于选项B,所以此函数在上单调递增,故B正确;

对于选项C,函数在区间上递增,在区间上递减,故C不正确;

对于选项D,函数在区间上递增,在区间上递增,可判断出在上递增,故D正确.

故选:BD

【点睛】

本题主要考查了分段函数,初等函数单调性的判断,及利用导数判定函数的单调性.

组卷:176次
难度:中等
知识点:基本初等函数I
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67.

十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数,则下列不等式不一定成立的是(   

A                   B         C≥2               D

【答案】

ACD

【分析】

举特值可知选项正确,作差比较可知选项不正确.

【详解】

时,满足,此时,故正确;

因为,所以,所以,即

所以一定成立,故不正确;

时,满足,此时,故正确;

时,满足,此时,故正确.

故选:ACD

【点睛】

关键点点睛:举特值说明不等式不一定成立是解题关键.

组卷:199次
难度:容易
知识点:不等式
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68.

如图所示,4个长为,宽为的长方形,拼成一个正方形,中间围成一个小正方形,则以下说法中正确的是(   

A                                        B时,四点重合

C                                        D

【答案】

ABD

【分析】

根据图形的构成,结合面积之间的关系即可求出答案.

【详解】

由图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和,即有,故A正确;

因为正方形的面积为,结合图形可知,且当α=b四点重合,故BD正确;

但是正方形的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定,因此选项C错误.

故选:ABD

【点睛】

本题考查了的几何意义,利用图形可得到面积之间的关系,考查了数形结合思想,属于中档题.

组卷:190次
难度:中等
知识点:不等式
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69.

当一个非空数集F满足条件若对任意a,则,且当时,时,称F为一个数域.以下四个关于数域的命题中,真命题为(   

A0是任何数域的元素

B若数域F有非零元素,则

C集合为数域

D有理数集为数域

【答案】

ABD

【分析】

根据新概念数域的定义判断.

【详解】

,则A正确;

,则,由此,依次类推B正确;

,但不是数域,C错误;

是两个有理数,则)都是有理数,所以有理数集是数域,D正确.

故选:ABD

【点睛】

本题考查新定义,解题关键是正确理解新定义数域,即数域中任意两个元素的和、差、积、商(分母不为0)仍然属于数域.

组卷:168次
难度:中等
知识点:集合与函数的概念
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70.

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:11235,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列,记Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论正确的是(   

Aa834                   BS854                   CS2020a20221       Da1a3a5a2021a2022

【答案】

BCD

【分析】

由题意可得数列满足递推关系,依次判断四个选项,即可得正确答案.

【详解】

对于A,可知数列的前8项为1123581321,故A错误;

对于B,故B正确;

对于C,可得

,故C正确;

对于D,由可得,

,故D正确.

故选:BCD.

【点睛】

本题以斐波那契数列为背景,考查数列的递推关系及性质,解题的关键是得出数列的递推关系,,能根据数列性质利用累加法求解.

组卷:193次
难度:中等
知识点:数列
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二、填空题(共25题)
1.

对于实数x,当且仅当时,规定,则不等式的解集是_____

【答案】

【分析】

先解关于的二次不等式,得到的范围,再根据的定义,得到的范围.

【详解】

解关于于的二次不等式

因为当且仅当时,规定

解得:

故答案为:

【点睛】

本题考查解二次不等式,根据条件中的新定义解决问题,属于中档题.

组卷:103次
难度:中等
知识点:导数及其应用
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2.

明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式,一年气象图将二十四节气配以太极图,说明一年之气象,来氏认为万古之人事,一年之气象也,春作夏长秋收冬藏,一年不过如此”.上图是来氏太极图,其大圆半径为4,大圆内部的同心小圆半径为1,两圆之间的图案是对称的,若在大圆内随机取一点,则该点落在黑色区域的概率为______.

【答案】

【分析】

设大圆面积为,小圆面积,求得,进而求得黑色区域的面积,结合面积比,即可求解.

【详解】

设大圆面积为,小圆面积,则

可得黑色区域的面积为

所以落在黑色区域的概率为.

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查了几何概型的概率的计算问题,解决此类问题的步骤:求出满足条件A的基本事件对应的几何度量,再求出总的基本事件对应的几何度量,然后根据求解,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.

组卷:153次
难度:容易
知识点:数列
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3.

数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线称为欧拉线”.已知的顶点,其欧拉线的直线方程为,则的顶点的坐标__________.

【答案】

【分析】

,由题意结合重心的性质可得,求得AB的中垂线方程,与欧拉线方程联立可得外心,由外心的性质可得,解方程即可得解.

【详解】

,由重心坐标公式得的重心为

代入欧拉线方程得整理得

因为AB的中点为,所以AB的中垂线的斜率为

所以AB的中垂线方程为

联立,解得

的外心为

联立①②

时,点BC两点重合,舍去;

的顶点的坐标为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了直线方程的求解与应用,考查了两点间距离公式的应用,关键是对题意的正确转化,属于中档题.

组卷:135次
难度:容易
知识点:导数及其应用
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4.

法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数满足如下条件:

1)在闭区间上是连续不断的;

2)在区间上都有导数.

则在区间上至少存在一个数,使得,其中称为拉格朗日中值.则在区间上的拉格朗日中值________

【答案】

【分析】

先求得导函数,结合拉格朗日中值的定义,可得,进而求得的值即可.

【详解】

,则

所以

由拉格朗日中值的定义可知,

所以

故答案为: .

【点睛】

本题考查函数与导数的简单应用,新定义的理解和应用,属于基础题.

组卷:161次
难度:中等
知识点:数列
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5.

《九章算术》是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的论述,比西方早一千多年,其中有这样一个问题:今有圆材埋在壁中,不知大小;以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深1寸,锯道长1尺,问这块圆柱形木料的直径是多少?长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦尺,弓形高寸,估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.(注:一丈=10=100寸,答案四舍五入,只取整数

【答案】

317

【分析】

根据弓形的锯口深1寸,锯道长1尺,求出圆的半径,从而求出弓形(阴影部分)面积后,由柱体体积公式得木材体积

【详解】

如图,设圆半径为寸(下面长度单位都是寸),连接,已知

中,,即,解得

,所以

图中阴影部分面积为扇形(平方寸),

镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面,以锯刀长为高的柱体,

所以其体积为(立方寸)

故答案为:317

【点睛】

本题考查柱体的体积,关键是求底面面积,方法是由扇形面积减去相应三角形面积得弓形面积,属基础题.

组卷:172次
难度:容易
知识点:三角函数
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6.

定义:如果函数上存在,满足,则称数上的对望数,函数上的对望函数,给出下列四个命题:

1)二次函数在任意区间上都不可能是对望函数

2)函数上的对望函数

3)函数上的对望函数

4上的对望函数,则上不单调;

其中正确命题的序号为__________(填上所有正确命题的序号)

【答案】

1)(2)(4

【分析】

根据对望函数定义并结合四个函数导函数可判断四种说法的正确与否,2)(3)需要注意导数的计算和方程的根要在给定的定义域内.

【详解】

1)二次函数导函数是一次函数,在上不可能存在,满足,故二次函数在任意区间上都不可能是对望函数正确;

(2)函数的导函数是,令,解得: ,故函数上的对望函数正确;

(3)函数导函数,令,得,方程无解;即函数上的对望函数错误;

4上的对望函数,则必有两个不相同的实根,则函数上不单调正确.

故正确命题的序号为(1)(2)(4

【点睛】

本题是一道新定义函数问题,考查了对函数性质的理解和应用,属于创新题目,解题时首先要求解函数的导数,再将新定义函数的性质转化为导数的性质,进而结合函数的零点情况确定所满足的条件.

组卷:157次
难度:中等
知识点:三角函数
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7.

古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一,其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现.如图,一个圆柱容球的几何图形,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边,在该图中,球的体积是圆柱体积的,并且球的表面积也是圆柱表面积的,若圆柱的表面积是,现在向圆柱和球的缝隙里注水,则最多可以注入的水的体积为_______.

【答案】

【分析】

用圆柱体积减去球的体积即得.

【详解】

设球的半径为,则由题意可得球的表面积为

圆柱的底面半径为,高为最多可以注入的水的体积为.

故答案为:

组卷:109次
难度:容易
知识点:数列
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8.

《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑.如图,四面体为鱉臑,平面为直角,且,则的体积为________.

【答案】

【分析】

计算出的面积,然后利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.

【详解】

由题意知平面

所以的面积为,因此,.

故答案为:.

【点睛】

本题考查三棱锥体积的计算,考查锥体体积公式的应用,考查计算能力,属于基础题.

组卷:151次
难度:基础
知识点:基本初等函数I
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9.

《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵;将底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马;将四个面均直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在堑堵中,外接球的表面积为,则阳马体积的最大值为_________.

【答案】

【分析】

根据几何体的结构特征,得到为鳖臑,所以其外接球的直径为,利用勾股定理得到,再利用基本不等式得到,然后由的体积为求解.

【详解】

因为鳖臑外接球的直径为

又因为,所以,即

所以

所以阳马的体积为.

所以阳马体积的最大值为.

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查几何体的结构特征以及体积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.

组卷:169次
难度:中等
知识点:不等式
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10.

《九章算术》是我国古代的一部数学书记,通过牟合方盖解决了球体体积计算的难题,其中一段记载:今有方锥,下方八尺,高八尺,问:积几何?术曰:下方自乘,以高乘之,三而一,若以立圆外接,问积几何?意思是:假设有一个正四棱锥(底面是正方形,并且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥),下底边长是8尺,高8尺,则它的体积是多少?方法是:下底边长自乘,以高乘之,再除以3.若这个正四棱锥的所有顶点都在球的球面上,则球的体积是__________立方尺.

【答案】

【分析】

设这个正四棱锥为,球的半径为,则,在直角三角形中,根据勾股定理可求得,再根据球的体积公式可得结果.

【详解】

设这个正四棱锥为,如图:

,设球的半径为,则

在直角三角形中,,所以

所以,解得

所以球的体积是立方尺.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了正四棱锥与球的组合体,考查了球的体积公式,属于基础题.

组卷:192次
难度:中等
知识点:统计案例
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11.

算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹记数法中,以纵式横式两种方式来表示数字,如下表:

数字形式

纵式

横式

表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图所示.如果把根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为______.

【答案】

【分析】

按每一位算筹的根数分类,列举出所有的情况,根据根或根以上的算筹可以表示两个数字,计算出每种情况下所表示的三位数的个数,利用分类加法计数原理可得结果.

【详解】

按每一位算筹的根数分类一共有种情况,分别为

根或根以上的算筹可以表示两个数字,运用分步乘法计数原理,得上面情况能表示的三位数字个数分别为:

根据分类加法计数原理,得根算筹能表示的三位数字个数为:

.

故答案为:.

【点睛】

本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.

组卷:179次
难度:中等
知识点:直线与方程
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12.

赵爽弦图是中国古代数学的文化瑰宝,由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成(如图所示),简洁对称、和谐优美.某数学文化研究会以弦图为蓝本设计会徽,其图案是用红、黄2种颜色为弦图的5个区域着色(至少使用一种颜色),则一共可以绘制备选的会徽图案数为__________.

【答案】

12

【分析】

分类:只填一种颜色,填两种颜色,填两种颜色时可分步:第一步先填中间小正方形,第二步直角三角形,再分类,根据直角三角形与小正方形的颜色有几何相同分类:0123,然后可得结论.

【详解】

根据使用的色彩分类:

1)只用一种颜色,共有种情况;

2)使用两种颜色,可分2步:选一种颜色涂小正方形,有种选法,由于对称性,剩下四个直角三角形的涂法有5种情形(四个直角三角形与小正方形不同色,有1种;四个直角三角形有一个与小正方形同色,有1种;四个直角三角形有2个与小正方形同色,有相邻和相对位置之分,共2种;四个直角三角形有3个与小正方形同色,有1种),所以用两种颜色共有种情况,

所以,一共可以绘制备选的会徽图案数为12.

故答案为:12

【点睛】

本题考查计数原理及分类讨论思想.,解题关键是确定怎样完成这个着色事件.然后是分类还是分步.

组卷:185次
难度:容易
知识点:基本初等函数I
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13.

中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是半正多面体(图1.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为______

【答案】

【分析】

从图形中作一个最大的水平截面,它是一个正八边形,八个顶点都在边长为铁正方形边上,由此可计算出棱长.

【详解】

作出该图形的一个最大的水平截面正八边形,如图,其八个顶点都在边长为1的正方形上,设半正多面体棱长为,则,解得

故答案为:

【点睛】

本题考查学生的空间想象能力,抽象概括能力,解题关键是从半正多面体中作出一个截面为正八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上,由此易得棱长.

组卷:101次
难度:中等
知识点:空间几何体
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14.

德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形(单位分数是指分子为1,分母为正整数的分数),称为莱布尼兹三角形.根据前5行的规律,则第6行的左起第3个数为________

【答案】

【分析】

根据所给数表,数字排列规律为第行的第1个数和最后1个数为,中间的某个数等于下一行两个脚的和,即可计算得解.

【详解】

由数表可知,第行第一个数为,所以第6行的第1个数和最后1个数是

中间的某个数等于下一行两个脚的和,所以第6行的第2个数为

6行的第3个数为

故答案为:.

【点睛】

本题考查数与式的归纳推理,数学文化的简单理解和应用,属于基础题.

组卷:175次
难度:偏难
知识点:导数及其应用
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15.

一般的,复数都可以表示为的形式,这也叫做复数的三角表示,17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系:如果,那么,这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算:______.(结果表示为的形式)

【答案】

【分析】

根据棣莫弗定理计算即可.

【详解】

故答案为:

【点睛】

本题考查新定义,理解新定义是解题关键.

组卷:109次
难度:容易
知识点:空间几何体
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16.

黄金比例,用希腊字母Φ表示,借用古希腊数学家欧几里德的话:当整条线段的长度与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时,就是根据黄金比例来分割线段.AB分别表示较长段与较短段的线段长度,于是将欧几里德的描述用代数方法表示出来:Φ=,从可以解出Φ的值.类似地,可以定义其他金属比例.假设把线段分成n+1段,其中有n段长度相等,记这n段的每一段长为A.面剩下的一段长为B (长度较短的).如果AB之比等于整条线段的长与A之比,我们用来表示这个比例,即=对于n(n)的每个值对应一个,则称为金属比例.n=1时,即为黄金比例,此时Φ= ;当n=2时,即为白银比例,我们用希腊字母表示该比例,则 ____

【答案】

【分析】

转化条件为,通过换元解方程即可得解.

【详解】

由题意,

,则

解得(舍去),

所以.

故答案为:.

组卷:168次
难度:容易
知识点:空间几何体
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17.

在复变函数中,自变量可以写成,其中z的辐角.点绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导,点绕原点逆时针旋转_______;复变函数_______

【答案】

        

【分析】

对应的复数,其中,则对应的复数,其中,利用两角和差公式求得的坐标;由,则,化简可得.

【详解】

对应的复数,其中

对应的复数,其中

,故的坐标为

,则

.

故答案为:

【点睛】

本题考查了复数的运算,结合考查了两角和的正弦、余弦公式,还考查了学生阅读理解能力,分析能力,运算能力,属于中档题.

组卷:195次
难度:中等
知识点:空间几何体
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18.

我国南北朝时期的数学家祖暅(杰出数学家祖冲之的儿子),提出了计算体积的祖暅原理:幂势既同,则积不容异.意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.已知曲线,直线为曲线在点处的切线.如图所示,阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形,记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.过的水平截面,所得截面面积______(用表示),试借助一个圆锥,并利用祖暅原理,得出体积为______

【答案】

        

【分析】

根据导数的几何意义求出直线的方程,利用两个圆的面积作差可得,将一个底面半径为,高为的圆锥的底面与几何体为的底面放在同一水平面上,可以计算得到该圆锥与几何体在所有等高处的水平截面的面积相等,再根据圆锥的体积公式可求得结果.

【详解】

,得,所以直线的斜率

所以直线的方程为,即

所以.

将一个底面半径为,高为的圆锥的底面与几何体为的底面放在同一水平面上,则过的水平截面截圆锥所得截面的半径为,截面面积为,根据祖暅原理可知,该圆锥与几何体的体积相等,

所以几何体的体积为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义,考查了祖暅原理,考查了圆锥的体积公式,属于中档题.

组卷:131次
难度:容易
知识点:空间几何体
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19.

古代的商人在堆放物品时,为了节约空间,常把物品垒成许多层,俗称,每层摆成三角形的就叫做三角垛.在一个三角垛中,自上而下的第一层摆放1个,第二层摆放个,第三层摆放个,以此类推.13世纪,我国数学家杨辉在《详解九章算法》中介绍了计算三角垛物体总个数的方法:记三角垛的层数为三角垛的物体总数为,则.由上述材料可知层数为9三角垛的第四层物体数为______,物体总数为______

【答案】

        

【分析】

由题意即为第四层物体数;再由,代入运算即可得物体总数.

【详解】

由题意该三角垛的第四层物体数为

物体总数为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了数学文化及数列的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.

组卷:181次
难度:中等
知识点:计数原理
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20.

我国魏晋时期的科学家刘徽创立了割圆术,实施以直代曲的近似计算,用正边形进行内外夹逼的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值,这是我国最优秀的传统科学文化之一﹣.借用以直代曲的近似计算方法,在切点附近,可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算. ,则曲线在点处的切线方程为_____,用此结论计算_____

【答案】

        

【分析】

先根据题意求出处的切线方程为,然后根据以直代曲,可以令

【详解】

函数

,故切线为

根据以直代曲,也非常接近切点

所以可以将代入切线近似代替

故答案为:

【点睛】

本题考查了导数的几何意义,以及导数的极限概念.要注意理解.属于基础题.

组卷:154次
难度:容易
知识点:计数原理
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21.

我国古代数学典籍《九章算术》第七章盈不足中有一道两鼠穿墙问题:有厚墙尺,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.问两天后,两鼠间距_______尺,两鼠相遇时,大鼠共穿了______尺墙.

【答案】

        

【分析】

设大、小老鼠进墙尺数分别为等比数列,公比分别为,根据题意得出两个等比数列的首项和公比,可计算出两天后两鼠之间的间距,根据两鼠掘墙速度比可计算出当两鼠相遇时,大鼠掘墙的尺寸.

【详解】

设大、小老鼠进墙尺数分别为等比数列,公比分别为

两天后两鼠间距为

由条件知大老鼠前三天分别挖尺,小老鼠前三天分别挖尺,

当两鼠相遇时,必在第三天.而这天两鼠掘墙速度比为

又第三天只需穿墙尺,则大老鼠需穿墙尺,

此时,大老鼠共穿尺.

故答案为:.

【点睛】

本题考查数学文化及等比数列的通项公式与求和,将实际问题转化为数列问题是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.

组卷:195次
难度:容易
知识点:空间几何体
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22.

《数书九章》卷五中第二题,原文如下:问有沙田一段,有三斜,其小斜一十二里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲知为田几何?答曰:田积三百一十五顷.术曰:以少广求之,以小斜幂()并大斜幂(),减中斜幂(),并半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,以四约之,为实:以为从偶,开平方,得积(S.译成现代式子是这个式子称为秦九韶三斜求积公式;已知三角形的三边分别为567时,则面积为_________,最小角的余弦值为_________.

【答案】

        

【分析】

由题意可得,代入公式即可得面积;由三角形面积公式可得最小角满足,再由同角三角函数的平方关系即可得解.

【详解】

由题意

所以

设最小角为,则,解得

所以.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了数学文化及三角形面积公式、同角三角函数关系的应用,考查了理解能力与运算求解能力,属于基础题.

组卷:136次
难度:容易
知识点:推理与证明
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23.

费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点,当三角形三个内角均小于120°时,费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°,根据以上性质,已知P内一点,记,则的最小值为_________,此时_________.

【答案】

        

【分析】

第一空可由费马点所对的三角形三边的张角相等均为120°,求出费马点,再根据

费马点与三角形三个顶点距离之和最小的点求出;第二空可直接由正弦定理求得.

【详解】

为坐标原点,由,知

为锐角三角形,因此,费马点F在线段上,设

为顶角是120°的等腰三角形,故

所以

中,由正弦定理,得,即

解得,即此时.

故答案为:

【点睛】

本题考查数学史、正余弦定理的应用,对题目中给出的费马点的理解和应用是解决本题的关键.

组卷:111次
难度:容易
知识点:数系的扩充与复数的引入
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24.

古有女子善织布,初日织三尺,日增等尺,第四日织九尺,则第七日织_______尺,八日共织________尺.

【答案】

        

【分析】

设该女子第日织尺布,可知数列为等差数列,根据题意求出等差数列的首项和公差,进而可求得以及该数列的前项和.

【详解】

设该女子第日织尺布,可知数列为等差数列,

设等差数列的公差为,前项和为,则,解得

.

因此,该女子第七日织尺布,八日共织尺布.

故答案为:.

组卷:102次
难度:容易
知识点:推理与证明
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25.

数学名著《算法统宗》中有如下问题:今斋僧,不知人数,初日每五人米八斗,次日每九人米七斗,凡二日共米三十二石一斗.问:僧并米若干?则该问题中共有僧人________名,第一天这些僧人共分_______斗米.(一石等于十斗)

【答案】

135    216   

【分析】

根据第一天每名僧人分斗米,第二天每名僧人分斗米,两天一共分了321斗米,可列方程,解得僧人人数,即得.

【详解】

由题意知第一天每名僧人分斗米,第二天每名僧人分斗米,两天一共分了321斗米.设僧人的人数为,则,解得,即该问题中共有135名僧人,第一天这些僧人共分米(斗).

故答案为:(12

【点睛】

本题以数学名著《算法统宗》中的问题为背景设题,强化了对数学文化的秉承和数学应用意识的培养,考查了数学建模、数据分析的核心素养.

组卷:143次
难度:中等
知识点:三角函数
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三、解答题(共5题)
1.

设数列:Aa1a2anBb1b2bn.已知aibj∈{01}i=12nj=12n),定义n×n数表,其中xij.

1)若A1110B0100,写出XAB);

2)若AB是不同的数列,求证:n×n数表XAB)满足xij=xjii=12nj=12nij的充分必要条件为ak+bk=1k=12n

3)若数列AB中的1共有n个,求证:n×n数表XAB)中1的个数不大于.

【答案】

1;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【分析】

1)根据题中给的定义写出XAB);

2)可先证充分性,充分性由定义易证;再证必要性,注意分类讨论:先分a1=0a1=1两类,a1=0较易证明,对a1=1再分b1=0b1=1两类证明,运用xij分析推理可得;

3)根据数列AB中的1共有n个,设A1的个数为p,则A0的个数为npB1的个数为npB0的个数为p.表示出n×n数表XAB)中1的个数,再用不等式证得n×n数表XAB)中1的个数不大于.

【详解】

1)解:.

2)证明:充分性

ak+bk=1k=12n),由于xijxji

Aa1a2an,由此数列 B1a11a21an.

由于 ai=bjai=1ajai+aj=1aj=1aiaj=bi.

从而有 xij=xjii=12nj=12nij.

必要性

xij=xjii=12nj=12nij.

由于AB是不同的数列,

a1=1b1=0,对任意的正整数k1

x1k=xk1=1,可得 a1=bk=1ak=b1=0

所以  ak+bk=1.

x1k=xk1=0,可得 bk=0ak=1

所以ak+bk=1.

同理可证 b1=1时,有ak+bk=1k=12n)成立.

a1=1b1=1,对任意的正整数k1

x1k=xk1=1,可得a1=bk=1ak=b1=1

所以有ak=bk=1,则AB是相同的数列,不符合要求.

x1k=xk1=0,可得bk=0ak=0

所以有ak=bk,则AB是相同的数列,不符合要求.

同理可证 a1=0b1=0时,AB是相同的数列,不符合要求.

综上,有n×n数表XAB)满足xij=xji的充分必要条件为ak+bk=1k=12n.

3)证明:由于数列AB中的1共有n个,设A1的个数为p

由此,A0的个数为npB1的个数为npB0的个数为p.

ai=1,则数表XAB)的第i行为数列Bb1b2bn

ai=0,则数表XAB)的第i行为数列B1b11b21bn

所以 数表XAB)中1的个数为.

所以 n×n数表XAB)中1的个数不大于.

【点睛】

本题是以数列、矩阵和分段函数为背景的新概念题目,考查学生的理解能力,应用能力,分类讨论思想,是一道较难的综合题.

组卷:100次
难度:偏难
知识点:数列
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2.

设实数,若满足,则称ab更接近m.

1)若更接近0,求实数的取值范围;

2)判断xy更接近m的什么条件?并说明理由.

【答案】

1;(2)充分非必要条件,理由见解析.

【分析】

1)根据已知列出不等式,计算求解即可;

2)由,分,两种情况,根据不等式性质,依次推理可得,即可得出为充分条件,当xy更接近m时,可知,观察可知,不一定成立,即可得出结论.

【详解】

1)由题意可知,即,解得:,则实数的取值范围是.

2由题意可知.

1)若,则,显然必有

那么,若,则显然,满足,

,则必有,满足

2)同理若,则,显然必有

那么,,则显然,满足,,则必有,满足

xy更接近m的充分条件,

xy更接近m,则,或,

显然存在成立.

 " xy更接近m "不是的必要条件

综上"xy更接近m"的充分非必要条件.

【点睛】

本题考查新定义"接近"的理解和运用,考查充分、必要条件的证明,考查分类讨论思想方法,以及运算能力和推理能力,属于难题.

组卷:150次
难度:偏难
知识点:不等式
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3.

若数列满足,且存在常数,使得对任意的都有,则称数列k控数列

1)若公差为d的等差数列“2控数列,求d的取值范围;

2)已知公比为的等比数列的前n项和为,数列都是k控数列,求q的取值范围(用k表示).

【答案】

12

【分析】

1)根据控数列的定义得出,则由等差数列的通项公式可得恒成立,求出公差的取值范围;

2)由等比数列控数列,又控数列,分类讨论求出q的取值范围.

【详解】

1)因为公差为的等差数列“2控数列,所以,所以

所以

得所以,又,所以

得:

时,,所以

时,成立;

时,,又,所以

综上,

所以的取值范围是

2)因为数列是公比为的等比数列且为控数列,所以,显然,故

易知,要使控数列

)当时,

,则递减,

所以

所以,即

要使存在,则

)当时,

,则递减,

所以,又,所以

要使存在,需,得

综上,当时,公比的取值范围是

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的前项和公式,数列不等式的恒成立问题,考查了分类讨论的思想,考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.

组卷:152次
难度:偏难
知识点:数列
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4.

数学家斐波那契在其所著《计算之书》中,记有二鸟饮泉间题,题意如下:如图1,两塔相距步,高分别为步和.两塔间有喷泉,塔顶各有一鸟.两鸟同时自塔顶出发,沿直线飞往喷泉,同时抵达(假设两鸟速度相同).求两塔与喷泉中心之距.如图2,现有两塔,底部相距12米,塔3米,塔9.假设塔与地面垂直,小鸟飞行路线与两塔在同一竖直平面内.

1)若如《计算之书》所述,有飞行速度相同的两鸟,同时从塔顶出发,同时抵达喷泉所在点,求喷泉距塔底的距离;

2)若塔底之间为喷泉形成的宽阔的水面,一只小鸟从塔顶出发,飞抵水面 之间的某点处饮水之后,飞到对面的塔顶.求当小鸟飞行距离最短时,饮水点到塔底的距离.

【答案】

19米;(23.

【分析】

1)设,列方程求解;

2)作出关于的对称点的交点就是最短距离的点,由此可计算出结论.

【详解】

1)设,则由题意,解得

2)设关于直线的对称点,连接

是线段上任一点,如图,,当且仅当重合时,等号成立.点即为所求.

,而,解得

【点睛】

本题考查数学文化,考查数学的应用,解题关键是正确理解题意,抽象出数学问题,用相应的数学知识求解.

组卷:112次
难度:中等
知识点:数学竞赛
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5.

如图,设A是由个实数组成的nn列的数表,其中aij (ij=123n)表示位于第i行第j列的实数,且aij{1-1}.S(nn)为所有这样的数表构成的集合.对于,记ri (A)A的第i行各数之积,cj (A)A的第j列各数之积.令

a11

a12

a1n

a21

a22

a2n

an1

an2

ann

)请写出一个AS(44),使得l(A)=0

)是否存在AS(99),使得l(A)=0?说明理由;

)给定正整数n,对于所有的AS(nn),求l(A)的取值集合.

【答案】

)答案见解析;()不存在,理由见解析;(

【分析】

)可取第一行都为-1,其余的都取1,即满足题意;

)用反证法证明:假设存在,得出矛盾,从而证明结论;

)通过分析正确得出l(A)的表达式,以及从A0如何得到A1A2……,以此类推可得到Ak

【详解】

)答案不唯一,如图所示数表符合要求.

)不存在AS(99),使得l(A)=0,证明如下:

假如存在,使得.

因为

所以......18个数中有919-1.

.

一方面,由于这18个数中有919-1,从而

另一方面,表示数表中所有元素之积(记这81个实数之积为m);

也表示m,从而

相矛盾,从而不存在,使得.

)记这个实数之积为p.

一方面,从的角度看,有

另一方面,从的角度看,有

从而有

注意到

下面考虑......-1的个数,

知,上述2n个实数中,-1的个数一定为偶数,该偶数记为,则1的个数为2n-2k

所以

对数表,显然.

将数表中的1变为-1,得到数表,显然

将数表中的1变为-1,得到数表,显然

依此类推,将数表中的1变为-1,得到数表

即数表满足:,其余

所以

所以

k的任意性知,lA)的取值集合为.

【点睛】

本题为数列的创新应用题,考查数学分析与思考能力及推理求解能力,解题关键是读懂题意,根据引入的概念与性质进行推理求解,属于较难题.

组卷:113次
难度:偏难
知识点:数列
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试卷统计
试题总数:
100
总体难度:
中等
题型统计
大题类型
题目数
占比
选择题
70
70.0%
填空题
25
25.0%
解答题
5
5.0%
知识点统计
知识点
题目数
占比
数系的扩充与复数的引入
2
2.0%
数列
25
25.0%
圆锥曲线与方程
1
1.0%
空间几何体
17
17.0%
框图
5
5.0%
三角函数
8
8.0%
平面向量
2
2.0%
常用逻辑用语
1
1.0%
计数原理
5
5.0%
不等式
8
8.0%
基本初等函数I
8
8.0%
圆与方程
2
2.0%
集合与函数的概念
2
2.0%
概率
3
3.0%
直线与方程
2
2.0%
三角恒等变换
1
1.0%
统计案例
2
2.0%
导数及其应用
3
3.0%
推理与证明
2
2.0%
数学竞赛
1
1.0%
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