已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)证明:.
(1);(2)证明见解析.
【分析】
(1)根据导数的几何意义求出斜率,即可写出切线的方程;
(2)由原不等式可转化为,构造函数
,
,利用导数分别求最大值与最小值即可求解.
【详解】
(1)由,得
,
所以切线的斜率,
又因为当时,
,
所以切线方程为,
即.
(2)欲证,即证
,
即证,
设,则
,,
当时,
,
在
上单调递增,
当时,
,
在
上单调递减,
所以在
处取得极大值,即为最大值,
所以,
所以.
设,则
,
所以在
上单调递增,
所以,
所以在
时成立,
所以,
所以,
所以,
即成立.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义,切线方程,利用导数求函数的最值,不等式的证明,属于中档题.
如图所示椭圆的左、右顶点分别为
,
,上、下顶点分别为
,
,右焦点为
,
,离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作斜率为
的直线
与椭圆
交于点
,
(点
在第一象限),直线
与直线
交于点
,求点
的坐标.
(1);(2)
.
【分析】
(1)根据及
可求
的值,从而可得椭圆的方程.
(2)联立直线方程和椭圆方程可求的坐标,再求得直线
的方程后可得点
的坐标.
【详解】
解:(1)由及
,
可知,
所以,
所以椭圆的方程为
.
(2)依题可设过点且斜率为
的直线
,
,
,
联立方程组,
解得,
,则
,
,
所以,
,
由(1)知,,
.
所以直线,①
直线,②
由①②,解得,
所以点的坐标为
.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的相交时交点坐标的求法、直线与直线的交点的求法,后两者均需联立曲线的方程,消元后求解即可,本题属于中档题.
如图所示的斜三棱柱中,点
在底面
的投影
为
边的中点,
,
,
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)求点到平面
的距离.
(1)证明见解析;(2)2.
【分析】
(1)根据,
,
得到
,再由
为
在底面
,得到
,利用线面垂直的判定定理证得
平面
,进而再利用面面垂直的判定定理证明.
(2)由平面
,得到点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离,然后利用等体积法
求解.
【详解】
(1)因为,
,
,
所以,
所以,即
.
因为为
在底面
的投影,
所以平面
,所以
.
因为,所以
平面
,
又平面
,
所以平面平面
.
(2)由条件可知,,
,
所以,
所以点到平面
的距离为
.
因为平面
,
所以点到平面
的距离等于点
到平面
的距离,即为
,
且.
又由,
,
,可知
,
所以,
所以在中,
,
所以.
由(1)的证明,可知平面
,
所以,
所以.
设点到平面
的距离为
,
由等体积法,可知,
即,
所以点到平面
的距离为2.
【点睛】
本题主要考查线面垂直,面面垂直的判定定理和等体积法求点到面的距离,还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力,属于中档题.
已知的内角
、
、
所对的边为
、
、
,且满足
.
(1)求角的大小;
(2)若的外接圆半径为1,求
的最大值.
(1);(2)
.
【分析】
(1)本题首先可根据正弦定理得出,然后根据二倍角公式得出
,最后根据同角三角函数关系得出
,即可得出结果;
(2)本题首先可根据的外接圆半径为1得出
,然后根据余弦定理以及基本不等式得出
,即可得出结果.
【详解】
(1)因为,所以
,
因为,所以
,
,
即,
因为,所以
,
则,
,
,
.
(2)因为的外接圆半径为1,所以
,
则,
即,当且仅当
时取等号,
故,
的最大值为
.
【点睛】
本题考查解三角形相关问题的求解,考查正弦定理边角互换以及余弦定理的应用,考查通过基本不等式求最值,考查计算能力,考查转化与化归思想,是中档题.
在我国抗击新型冠状病毒肺炎期间,素有“南抖音,北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中的快乐外,更在于传递了一种正能量,为抗疫起到了积极的作用,但一个优秀的小视频在有很好的素材与拍摄成品外,更要有制作上的技术要求.某同学为提高自己的制作水平,将所制作的某小视频发到自己的朋友圈里,并请朋友圈的朋友按自己的审美给予评价,通过收集100位朋友(男、女各前50位)的评价,得到下面的列联表:
优秀 | 不优秀 | |
男性朋友 | 35 | 15 |
女性朋友 | 27 | 23 |
(1)分别估计男、女性朋友对该小视频评价优秀的概率;
(2)能否有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关?
附:.
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(1)0.7;0.54;(2)没有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关.
【分析】
(1)根据表中数据即可估计出概率;
(2)根据个数计算出卡方值,和3.841比较即可判断.
【详解】
(1)由表中数据,男性朋友对该小视频评价优秀的比率为,
因此男性朋友对该小视频评价优秀的概率的估计值为0.7.
女性朋友对该小视频评价优秀的比率为,
因此女性朋友对该小视频评价优秀的概率的估计值为0.54.
(2)由列联表可知,,
所以没有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关.
【点睛】
本题考查由频率估计概率,考查独立性检验,属于基础题.
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