已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
（Ⅰ）证明{an+
}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：
+
+…+
＜
．
答案
【考点】数列的求和；等比数列的性质．
【专题】证明题；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即
=常数，又首项不为0，所以为等比数列；
再根据等比数列的通项化式，求出{an}的通项公式；
（Ⅱ）将
进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
【解答】证明（Ⅰ）
=
=3，
∵
≠0，
∴数列{an+
}是以首项为
，公比为3的等比数列；
∴an+=
=
，即
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜
=
，
∴当n=1时，
成立，
当n≥2时，
+
+…+
＜1+
…+
=
=
＜
．
∴对n∈N+时，
+
+…+
＜．
【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，
通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．
，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2
>1
(
