已知数列{an}的前n项和为Sn，把满足条件an＋1≤Sn(n∈N*)的所有数列{an}构成的集合记为M．
（1）若数列{an}通项为an＝
，求证：{an}∈M；
（2）若数列{an}是等差数列，且{an＋n}∈M，求2a5－a1的取值范围；
（3）若数列{an}的各项均为正数，且{an}∈M，数列{
}中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{an}的通项；若不存在，说明理由．
答案
解:（1）因为an＝，所以Sn＝
×
＝1－()n，
所以an＋1－Sn＝()n＋1－1＋()n＝
()n－1≤×－1＝－
＜0，
所以an＋1＜Sn，即{an}∈M． ………………4分
（2）设{an}的公差为d，因为{an＋n}∈M，
所以an＋1＋n＋1≤(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(an＋n) （*）
特别的当n＝1时，a2＋2≤a1＋1，即d≤－1，
由（*）得a1＋nd＋n＋1≤na1＋
d＋，
整理得
n2＋(a1－d－)n－a1－1≥0，
因为上述不等式对一切n∈N*恒成立，所以必有≥0，解得d≥－1，
又d≤－1，所以d＝－1，
于是(a1＋1)n－a1－1≥0，即(a1＋1)(n－1)≥0，所以a1＋1≥0，即a1≥－1，
所以2a5－a1＝2(a5－a1)＋a1＝8d＋a1＝－8＋a1≥－9，
因此2a5－a1的取值范围是[－9，＋∞)． ………………10分
（3）由an＋1≤Sn得Sn＋1－Sn≤Sn，所以Sn＋1≤2Sn，即
≤2，
所以
＝
×
×…×≤2n，从而有Sn＋1≤S1×2n＝a1×2n，
又an＋1≤Sn，所以an＋2≤Sn＋1≤a1×2n，即an≤a1×2n－2(n≥3)，
又a2≤S1＝a1×22－2，a1＜a1×21－2，所以有an≤a1×2n－2(n∈N*)，所以≥
×2n，
假设数列{}中存在无穷多项依次成等差数列，
不妨设该等差数列的第n项为dn＋b(b为常数)，
则存在m∈N，m≥n，使得dn＋b＝
≥×2m≥×2n，即da1n＋ba1≥2n＋2，
设f (n)＝
，n∈N*，n≥3， 则f (n＋1)－f (n)＝
－＝
＜0，
即f (n＋1)＜f (n)≤f (3)＝
＜1，
于是当n≥3时，2n＋2＞n2，从而有：当n≥3时da1n＋ba1＞n2，即n2－da1n－ba1＜0，
于是当n≥3时，关于n的不等式n2－da1n－ba1＜0有无穷多个解，显然不成立，
因此数列{}中是不存在无穷多项依次成等差数列． ………………16分
，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2
>1
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