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更新时间:2020-07-11
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1.

已知椭圆C的离心率为,且过点A21).

1)求C的方程:

2)点MNC上,且AMANADMND为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.

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题型:解答题
知识点:高考试题
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【答案】

(1);(2)详见解析.

【解析】

【分析】

(1)设出椭圆方程,由题意得到关于a,b,c的方程组,求解方程组即可确定椭圆方程.

(2)设出点MN的坐标,联立直线方程与椭圆方程可证得直线MN恒过定点,然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.

【详解】(1)设椭圆方程为:,由题意可得:

解得:,故椭圆方程为:.

(2)设点.因为AMAN,所以.

整理可得:         

MN的方程为y=kx+m

联立直线与椭圆方程可得:

韦达定理可得:

代入①式有:

化简可得:

据此可得:

所以直线MN的方程为

所以直线过定点.

又因为A点重合,所以舍去,则直线过定点.

由于AE为定值,且△AED为直角三角形,AE为斜边,

所以AE中点Q满足为定值(AE长度的一半.

由于,故由中点坐标公式可得.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:

(1)注意观察应用题设中每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

=
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