已知椭圆
的一个顶点为
，右焦点为
，且
，其中
为原点．
（Ⅰ）求椭圆
方程；
（Ⅱ）已知点
满足
，点
在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线
与以为圆心的圆相切于点
，且为线段的中点．求直线的方程．
答案
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，或
．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，并借助
，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到
，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.
【详解】（Ⅰ）
椭圆
的一个顶点为
，
，
由
，得
，
又由，得
，
所以，椭圆的方程为；
（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
根据题意可知，直线和直线
的斜率均存在，
设直线的斜率为
，则直线的方程为
，即
，
，消去
，可得
，解得
或
.
将代入，得
，
所以，点的坐标为
，
因为为线段的中点，点
的坐标为
，
所以点的坐标为
，
由，得点的坐标为
，
所以，直线的斜率为
，
又因为，所以
，
整理得
，解得
或
.
所以，直线的方程为或.
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
