已知
为等差数列，
为等比数列，
．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前
项和为
，求证：
；
（Ⅲ）对任意的正整数，设
求数列
的前
项和．
答案
（Ⅰ）
，
；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）
.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算
和
的值，据此进一步计算数列
的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为q.
由
，
，可得d=1.
从而的通项公式为.
由
，
又q≠0，可得
，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得
，
故
，
，
从而
，
所以
.
(Ⅲ)当n
奇数时，
，
当n为偶数时，
，
对任意的正整数n，有
，
和
①
由①得
②
由①②得
，
由于
，
从而得：
.
因此，
.
所以，数列的前2n项和为.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
