已知向量，，，，函数，的最小正周期为．

（1）求的单调增区间；

（2）方程；在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；

（3）是否存在实数m满足对任意x₁∈[-1，1]，都存在x₂∈R，使得+1＞f（x₂）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．

答案

（1），（2）或（3）存在，且m取值范围为

【解析】

（1）函数，的最小正周期为．可得，即可求解的单调增区间．

（2）根据x在上求解的值域，即可求解实数n的取值范围；

（3）由题意，求解的最小值，利用换元法求解的最小值，即可求解m的范围．

【详解】（1）函数f（x）•1＝2sin²（ωx）cos（2ωx）﹣1

＝sin（2ωx）cos（2ωx）

＝2sin（2ωx）

∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0

∴，

∴ω＝1．

那么f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x）

令2x，k∈Z

得：x

∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．

（2）方程f（x）﹣2n+1＝0；[0，]上有且只有一个解，

转化为函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．

∵x在[0，]上，

∴（2x）

那么函数y＝f（x）+1＝2sin（2x）+1的值域为[，3]，结合图象可知

函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．

那么2n＜1或2n＝3，

可得或n＝．

（3）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）

∴f（x₂）_min＝﹣2．

实数m满足对任意x₁∈[﹣1，1]，都存在x₂∈R，

使得成立．

即成立

令

设t，那么

∵x₁∈[﹣1，1]，

∴t∈[，]，

可得t²+mt+5＞0在t∈[，]上成立．

令g（t）＝t²+mt+5＞0，

其对称轴t

∵t∈[，]上，

∴①当时，即m≥3时，g（t）_min＝g（），解得；

②当，即﹣3＜m＜3时，g（t）_min＝g（）0，解得﹣3＜m＜3；

③当，即m≤﹣3时，g（t）_min＝g（）0，解得m≤﹣3；

综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．