已知,.
⑴求的解析式;
⑵求时,的值域;
⑶设,若对任意的,总有恒成立,求实数的取值范围.
(1)(2)(3)
【解析】
试题分析:(1)由题已知,求,可利用换元法,即:,,将条件中的,换为得:,求出
(2)由(1)得,可继续换元,
得:,需对进行分类讨论,而化为熟悉的二次函数的
值域问题解决.
(3)由恒成立,可转化为在满足,则需对的单调性进行分析,由,采用换元法,得:
,由,借助函数的单调性,对进行分类讨论,分别得出的取值范围,取各种情况的并集,得出结果.
试题解析:⑴设,则,所以,
所以;
⑵设,则
当时,,的值域为
当时,
若,,的值域为
若,,在上单调递增,在上单调递减,
的值域为
综上,当时的值域为,当时的值域为;
⑶因为对任意总有
所以在满足
设,则,
当即时在区间单调递增
所以,即,所以(舍)
当时,,不符合题意
当时, 若即时,在区间单调递增
所以,则
若即时在递增,在递减
所以,得
若即时在区间单调递减
所以,即,得
综上所述:.
考点:1.换元法求函数解析式; 2.换元法与二次函数的值域问题及分类思想.
3. 恒成立中的函数思想及分类思想.
分段函数:
1、分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的;
分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数:
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数;
一般形式为y=f(x),或许还附有定义域、值域等,如:y=f(x),(x>0,y>0)。
知识点拨:
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法:分段函数分段研究。
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