已知椭圆
：
（
）的离心率是
，原点到直线
的距离等于
.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知点
，若椭圆上总存在两个点
关于直线
对称，且
，求实数
的取值范围．
答案
（1）
；（2）
.
【解析】
（1）先根据题意建立方程组并求得
，
，再求椭圆
的标准方程；
（2）先根据题意设直线
的方程并联立化简整理得
，接着求出
，再设
并表示出的中点坐标，结合点
在直线
上，得到
代入，求得
，接着根据题意表示出
和
并结合
求得
，最后求出实数
的取值范围.
【详解】
（1）因为椭圆的离心率是
，原点到直线
的距离等于
，
所以
，解得
，
所以椭圆
的标准方程为．
（2）根据题意可设直线的方程为
，联立
，整理得，
由
，得．设，则
又设的中点为
，则
.
由于点在直线上，所以
，得代入，得
，所以，
因为
，所以
.由，得
，即
，所以
，即，
所以
，解得
.
实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、根据向量的数量积求参数范围，是偏难题.
