如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．

（1）证明：MN∥平面C₁DE；

（2）求二面角A-MA₁-N的正弦值．

答案

（1）见解析；（2）.

【分析】

（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.

【详解】

（1）连接，

，分别为，中点    为的中位线

且

又为中点，且 且

 四边形为平行四边形

，又平面，平面

平面

（2）设，

由直四棱柱性质可知：平面

四边形为菱形   

则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则：，，，D（0，-1,0）

取中点，连接，则

四边形为菱形且    为等边三角形

又平面，平面

平面，即平面

为平面的一个法向量，且

设平面的法向量，又，

，令，则，   

二面角的正弦值为：

【点睛】

本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.