设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
(1)求的方程;
(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.
(1) y=x–1,(2)或.
【详解】
分析:(1)根据抛物线定义得,再联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理代入求出斜率,即得直线的方程;(2)先求AB中垂线方程,即得圆心坐标关系,再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系,解方程组可得圆心坐标以及半径,最后写出圆的标准方程.
详解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得.
,故.
所以.
由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.
因此l的方程为y=x–1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为
,即.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
解得或
因此所求圆的方程为
或.
点睛:确定圆的方程方法
(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心和半径有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组,从而求出的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D、E、F的方程组,进而求出D、E、F的值.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
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过原点 |
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圆心在x轴上 |
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圆心在y轴上 |
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与x轴相切 |
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与y轴相切 |
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与x,y轴都相切 |
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圆心在x轴上且过原点 |
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圆心在y轴上且过原点 |
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