如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为.
(1)求椭圆C及圆O的方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;
②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程.
(1),;(2)
【解析】
分析:(1)根据条件易得圆的半径,即得圆的标准方程,再根据点在椭圆上,解方程组可得a,b,即得椭圆方程;(2)第一问先根据直线与圆相切得一方程,再根据直线与椭圆相切得另一方程,解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长,再结合①中方程组,利用求根公式以及两点间距离公式,列方程,解得切点坐标,即得直线方程.
详解:解:(1)因为椭圆C的焦点为,
可设椭圆C的方程为.又点在椭圆C上,
所以,解得
因此,椭圆C的方程为.
因为圆O的直径为,所以其方程为.
(2)①设直线l与圆O相切于,则,
所以直线l的方程为,即.
由,消去y,得
.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,
所以.
因为,所以.
因此,点P的坐标为.
②因为三角形OAB的面积为,所以,从而.
设,
由(*)得,
所以
.
因为,
所以,即,
解得舍去),则,因此P的坐标为.
综上,直线l的方程为.
点睛:直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法:一是设出点的坐标,运用“设而不求”思想求解;二是设出直线方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理求出交点坐标,适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.
圆的定义:
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心,定长就是半径。
圆的标准方程:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,,圆心(a,b),半径为r;特别当圆心是(0,0),半径为r时,圆的标准方程为x2+y2=r2。
圆的一般方程:
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
当D2+E2-4F>0时,表示圆心在,半径为的圆;
当D2+E2-4F=0时,表示点;
当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。
圆的定义的理解:
(1)定位条件:圆心;定形条件:半径。
(2)当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因此一个圆最基本的要素是圆心和半径.
圆的方程的理解:
(1)圆的标准方程中含有a,b,r三个独立的系数,因此,确定一个圆需三个独立的条件.其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径.
(3)圆的一般方程形式的特点:
a.的系数相同且不等于零;
b.不含xy项.
(4)形如的方程表示圆的条件:
a.A=C≠0;
b.B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程:
条件 | 标准方程 | 一般方程 |
圆心在原点 |
|
|
过原点 |
|
|
圆心在x轴上 |
|
|
圆心在y轴上 |
|
|
与x轴相切 |
|
|
与y轴相切 |
|
|
与x,y轴都相切 |
|
|
圆心在x轴上且过原点 |
|
|
圆心在y轴上且过原点 |
|
|
登录并加入会员可无限制查看知识点解析