已知抛物线C:x2=−2py经过点(2,−1).
(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;
(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=−1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
(Ⅰ) ,;
(Ⅱ)见解析.
【分析】
(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程,进一步可得准线方程;
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程,结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径,从而确定圆的方程,最后令x=0即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ)将点代入抛物线方程:可得:,
故抛物线方程为:,其准线方程为:.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在,焦点坐标为,
设直线方程为,与抛物线方程联立可得:.
故:.
设,则,
直线的方程为,与联立可得:,同理可得,
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为:,圆的半径为:,
且:,,
则圆的方程为:,
令整理可得:,解得:,
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
【点睛】
本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的方程的求解及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
给出下列曲线:
①4x+2y-1=0②x2+y2=3③x2/2+y2=1④x2/2-y2=1其中与直线r=-2x-3有交点的所有曲线是
(A).①③ (B).②④ (C).①②③ (D).②③④