已知直线:,圆A:,点
(1)求圆上一点到直线的距离的最大值;
(2)从点B发出的一条光线经直线反射后与圆有交点,求反射光线的斜率的取值范围.
(1);(2)
【分析】
(1)根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系,求得圆心到直线的距离,即可计算最大值;
(2)设点关于直线直的对称点为,列出方程组,求的的值,得出对称点的坐标,进而设出直线的方程,利用,即可求解.
【详解】
(1)圆心为,半径,
由
直线与圆的位置关系为相离,
所以圆上一点到直线距离最大值为
(2)设点关于直线直的对称点为
由 即反射线过点
由题意反射线的斜率必存在,设方程为:,
即: ,由得
整理得,
解得,
所以斜率的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查了圆的方程应用,以及直线与圆的位置关系的应用问题,其中解答中根据题意,合理转化,建立不等式关系式是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及转化思想的应用.
直线的倾斜角的定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。
直线的斜率的定义:
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tanα。斜率反映直线与x轴的倾斜程度。
直线斜率的性质:
当时,k≥0;当时,k<0;当时,k不存在。
直线倾斜角的理解:
(1)注意“两个方向”:直线向上的方向、x轴的正方向;
(2)规定当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0度。
直线倾斜角的意义:
①直线的倾斜角,体现了直线对x轴正向的倾斜程度;
②在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角;
③倾斜角相同,未必表示同一条直线。
直线斜率的理解:
每条直线都有倾斜角,但每条直线不一定都有斜率, 斜率不存在;当 也逐渐增大; 且逐渐增大。
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