如图所示,某区有一块空地,其中,,.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中都在边上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在的周围安装防护网.
(1)当时,求防护网的总长度;
(2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小;
(3)为节省投入资金,人工湖的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使的面积最小?最小面积是多少?
(1)(2)(3)当且仅当时,的面积取最小值为
【分析】
(1)根据题意可得,在中,利用余弦定理求出,从而可得,即,进而可得为正三角形,即求解.
(2)设,利用三角形的面积公式,在中,利用正弦定理可得,从而,即,即求解.
(3)设,由(2)知,在中,利用正弦定理可得,利用三角形的面积公式可得,再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解.
【详解】
(1)在中,,,,
在中,,
由余弦定理,得,
,即,,
为正三角形,所以的周长为,
即防护网的总长度为.
(2)设,,
,即,
在中,由,得,
从而,即,由,
得,,即.
(3)设,由(2)知,
又在中,由,得,
,
当且仅当,即时,
的面积取最小值为.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理在实际中的应用,三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的性质,属于中档题.
角的概念的推广:
(1)平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
(2)正角:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角;
(3)负角:按顺时针方向旋转所形成的角叫负角;
(4)零角:当一条射线没有作任何旋转时叫做零角,射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
(5)角的记法:角α或∠α,也可以简记为α。
角的说明:
(1)在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记为α.
(2)角的这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭隘”。在日常生活中,在生产和科学实验中,还要经常遇到大于360度的角,以及按照不同方向旋转而成的角。
(3)零角的始边和终边重合。
(4)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
(5)以终边位置的异同作为分类标准.
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