2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为，某位患者在隔离之前，每天有位密切接触者，其中被感染的人数为，假设每位密切接触者不再接触其他患者.

（1）求一天内被感染人数为的概率与、的关系式和的数学期望；

（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的数学期望记为.

（i）求数列的通项公式，并证明数列为等比数列；

（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率，当取最大值时，计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取）

（结果保留整数，参考数据：）

答案

（1）；.

（2）（i），证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.

【分析】

（1）由题意，被感染人数服从二项分布：，则可求出概率及数学期望；

（2）（i）根据第天被感染人数为，及第天被感染人数为，

作差可得可得，，可证，（ii）利用导数计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.

【详解】

（1）由题意，被感染人数服从二项分布：，

则,，

的数学期望.

（2）（i）第天被感染人数为，

第天被感染人数为，

由题目中均值的定义可知，

则，且.

是以为首项，为公比的等比数列.

（ii）令，

则.

在上单调递增，在上单调递减.

.

则当，.

.

.

戴口罩很有必要.

【点睛】

本题考查二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考查综合分析及转化能力，考查知识的迁移能力，属于较难题.