在平面直角坐标系xOy中,设点集,令.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.
(1)当n=1时,求X的概率分布;
(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).
(1)见解析;
(2)
【分析】
(1)由题意首先确定X可能的取值,然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列;
(2)将原问题转化为对立事件的问题求解的值,据此分类讨论①.,②.,③.,④.四种情况确定满足的所有可能的取值,然后求解相应的概率值即可确定的值.
【详解】
(1)当时,的所有可能取值是.
的概率分布为,
.
(2)设和是从中取出的两个点.
因为,所以仅需考虑的情况.
①若,则,不存在的取法;
②若,则,所以当且仅当,此时或,有2种取法;
③若,则,因为当时,,所以当且仅当,此时或,有2种取法;
④若,则,所以当且仅当,此时或,有2种取法.
综上,当时,的所有可能取值是和,且
.
因此,.
【点睛】
本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.
随机事件的定义:
在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件,随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。
必然事件的定义:
必然会发生的事件叫做必然事件;
不可能事件:
肯定不会发生的事件叫做不可能事件;
概率的定义:
在大量进行重复试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动。这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
m,n的意义:事件A在n次试验中发生了m次。
因0≤m≤n,所以,0≤P(A)≤1,必然事件的概率为1,不可能发生的事件的概率0。
随机事件概率的定义:
对于给定的随机事件A,随着试验次数的增加,事件A发生的频率总是接近于区间[0,1]中的某个常数,我们就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。
频率的稳定性:
即大量重复试验时,任何结果(事件)出现的频率尽管是随机的,却“稳定”在某一个常数附近,试验的次数越多,频率与这个常数的偏差大的可能性越小,这一常数就成为该事件的概率;
“频率”和“概率”这两个概念的区别是:
频率具有随机性,它反映的是某一随机事件出现的频繁程度,它反映的是随机事件出现的可能性;概率是一个客观常数,它反映了随机事件的属性。
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