为推行“新课堂”教学法,某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,若成绩大于70分为“成绩优良”.
(1)分别计算甲、乙两班的样本中,前10名成绩的平均分,并据此判断哪种教学方式的教学效果更佳;
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?
甲班 | 乙班 | 总计 | |
成绩优良 | |||
成绩不优良 | |||
总计 |
(3)从甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数,求ξ的分布列及数学期望.
附:K2=(n=a+b+c+d),
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【分析】
(1)由平均数是的计算公式,分布求得甲班样本前10名成绩和乙班样本前10名成绩的平均分,比较即可得到结论.
(2)根据茎叶图中的数据作出列联表,利用公式计算的值,即可得到结论.
(3)求得随机变量的所有可能取值为,求出随机变量取值的概率,列出随机变量的分布列,利用公式,即可求解数学期望.
【详解】
(1)由数据的平均数是的计算公式,可得甲班样本前10名成绩的平均分为
=;
乙班样本前10名成绩的平均分为
=;
因为甲班样本前10名成绩的平均分低于乙班样本前10名成绩的平均分,
所以据此判断“新课堂”教学方式的教学效果更佳.
(2)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示:
甲班 | 乙班 | 总计 | |
成绩优良 | 10 | 16 | 26 |
成绩不优良 | 10 | 4 | 14 |
总计 | 20 | 20 | 40 |
根据列联表中的数据,得的观测值为,
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.
(3)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人,
所以的所有可能取值为,
则=,, =,
则随机变量的分布列为:
| 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
则数学期望.
【点睛】
本题主要考查了数据的平均数和独立性检验的应用,以及随机变量的分布列与数学期望的计算,其中解答中认真审题,合理利用平均数、独立性检验的公式准确计算,以及正确得出随机变量的取值及概率,列出相应的分布列是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
简单随机抽样的定义:
一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
简单随机抽样的特点:
(1)用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为;
(2)简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等;
(3)简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础.
(4)简单随机抽样是不放回抽样;它是逐个地进行抽取;它是一种等概率抽样
简单抽样常用方法:
(1)抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N),并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作),然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本适用范围:总体的个体数不多时优点:抽签法简便易行,当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.(2)随机数表法:随机数表抽样“三步曲”:第一步,将总体中的个体编号;第二步,选定开始的数字;第三步,获取样本号码概率:
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