已知函数
（
且
）的图象过点
，
.若函数
在定义域内存在实数t，使得
成立，则称函数具有性质M.
（1）求实数a的值；
（2）判断函数
是否具有性质M？并说明理由；
（3）证明：函数
具有性质M.
答案
（1）
；（2）函数
不具有性质M，详见解析；（3）证明见解析
【分析】
（1）将点
代入
的解析式求解即可；
（2）由
，可得对数方程，运用对数的性质判断方程的解，即可判断是否具有性质
；
（3）由
，求得方程的根或范围，结合新定义即可得证.
【详解】
（1）由题意，函数
的图象过点，
所以
，解得；
（2）函数不具有性质M，证明如下：
函数
的定义域为
，
方程
，
而方程
无解，
所以不存在实数
使得成立，
所以函数不具有性质M；
（3）由（1）知
，定义域为R，
方程
，
设
，
，
，
函数
的图象连续，且
，
所以函数在区间
存在零点，
所以存在实数t使得成立，
所以函数具有性质M.
【点睛】
本题考查函数的新定义的理解和运用、函数方程的关系和零点定理，考查学生推理能力和计算能力，属于中档题.
