如图, 平面 , , , , , ,
( 1 )求直线 与平面 所成角的正弦值;
( 2 )求平面 与平面 夹角的余弦值.
( 1 ) ;( 2 ) .
【分析】
首先以 为原点,建立空间直角坐标系,( 1 )求平面 的法向量 ,利用公式 求解;( 2 )求平面 的法向量 ,利用公式 求解 .
【详解】
以 为原点, 分别为 轴的正方向,建立空间直角坐标系,
, , , ,
( 1 )设平面 法向量 , , ,则 ,
令 ,则 ,
∴ , ,
( 2 )设平面 法向量 , , ,则 ,
令 ,则
, ,
因为平面 与平面 夹角是锐二面角,所以二面角的余弦值是 .
【点睛】
关键点点睛:本题是比较典型的向量坐标法解决空间角,关键是计算准确,
点的平移公式:
;
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F′上的对应点为P′(x′,y′),且的坐标为(h,k)。
“按向量平移”的几个结论:
(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P′(x+h,y+k);
(2)函数y=f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C′,则C′的函数解析式为y=f(x-h)+k;
(3)图象C′按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y=f(x),则C′的函数解析式为y=f(x+h)-k;
(4)曲线C:f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到图象C′,则C′的方程为f(x-h,y-k)=0;
(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y)。
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