若函数 在 时，函数值 的取值区间恰为 ，就称区间 为 的一个 “ 倒域区间 ” ．定义在 上的奇函数 ，当 时， ．

（ 1 ）求 的解析式；

（ 2 ）求函数 在 内的 “ 倒域区间 ” ；

（ 3 ）若函数 在定义域内所有 “ 倒域区间 ” 上的图象作为函数 的图象，是否存在实数 ，使集合 恰含有 2 个元素？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

答案

（ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ）存在； ．

【分析】

（ 1 ）运用奇函数的性质 即可求得函数 的解析式；

（ 2 ）根据题意列出方程组 ，从而求解；

（ 3 ）分析题意得出 ，从而只需考虑 或 两种情况；再根据（ 2 ）的结论求出 ，从而根据方程思想求 的值 .

【详解】

（ 1 ）当 时， ．

所以 ．

（ 2 ）设 ，因为 在 上递减，

所以 ，整理得 ，解得 ．

所以 在 内的 “ 倒域区间 ” 为 ．

（ 3 ）因为 在 时，函数值 的取值区间恰为 ，其中 ， ，

所以 ，即 ， 同号，所以只需考虑 或 ，

当 时，根据 的图象知， 最大值为 1 ， ， ，

所以 ，由（ 2 ）知 在 内的 “ 倒域区间 ” 为 ；

当 ， 最小值为 ， ， ，

所以 ，同理知 在 内的 “ 倒域区间 ” 为 ．

所以 ．

依题意：抛物线与函数 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．

因此， 应当使方程 在 内恰有一个实数根，

并且使方程 在 内恰有一个实数．

由方程 在 内恰有一根知 ；

由方程 在 内恰有一根知 ，

综上知： ．