如图,在棱长为 2 的正方体 中, E 为棱 BC 的中点, F 为棱 CD 的中点.
( I )求证: 平面 ;
( II )求直线 与平面 所成角的正弦值.
( III )求二面角 的正弦值.
( I )证明见解析;( II ) ;( III ) .
【分析】
( I )建立空间直角坐标系,求出 及平面 的一个法向量 ,证明 ,即可得证;
( II )求出 ,由 运算即可得解;
( III )求得平面 的一个法向量 ,由 结合同角三角函数的平方关系即可得解 .
【详解】
( I )以 为原点, 分别为 轴,建立如图空间直角坐标系,
则 , , , , , , ,
因为 E 为棱 BC 的中点, F 为棱 CD 的中点,所以 , ,
所以 , , ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,
因为 ,所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 ;
( II )由( 1 )得, ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ;
( III )由正方体的特征可得,平面 的一个法向量为 ,
则 ,
所以二面角 的正弦值为 .
点的平移公式:
;
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F′上的对应点为P′(x′,y′),且的坐标为(h,k)。
“按向量平移”的几个结论:
(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P′(x+h,y+k);
(2)函数y=f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C′,则C′的函数解析式为y=f(x-h)+k;
(3)图象C′按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y=f(x),则C′的函数解析式为y=f(x+h)-k;
(4)曲线C:f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到图象C′,则C′的方程为f(x-h,y-k)=0;
(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y)。
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