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更新时间:2021-11-25
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1.

函数 .

1 )讨论函数 的单调性;

2 )若 ,证明:当 时, 恒成立 .

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题型:解答题
知识点:导数及其应用
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【答案】

1 )见解析;( 2 )证明见解析 .

【分析】

1 )对 求导,令 ,可得 ,然后分 三种情况求 的单调区间;

2 )由( 1 )可知 时, 的单调性,然后分 两种情况分别求出 的最大值,证明 的最大值小于 0 即可.

【详解】

解:( 1 )因为 定义域为

.

,得

解得 .

时, ,所以 上单调递减 .

上单调递增,在 上单调递减 .

时, 上单调递增,在 上单调递减 .

2 )当 时,由( 1 )得 上单调递增,在 上单调递减 .

,即 时, 的最大值

.

因为 ,所以 .

所以

,即 时, 内单调递增 .

.

因为 .

所以 ,所以 .

综合 ①② 可知当 时, 恒成立 .

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值和不等式恒成立问题,考查了分类讨论思想和转化思想,属于中档题.

=
考点梳理:
根据可圈可点权威老师分析,试题“ ”主要考查你对 导数的概念及其几何意义 等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下:
◎ 导数的概念及其几何意义的定义

平均变化率:

一般地,对于函数y =f(x),x1,x2是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可用式表示,我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,习惯上用表示,即平均变化率
  
上式中的值可正可负,但不为0.f(x)为常数函数时, 

瞬时速度:
如果物体的运动规律是s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内,当时平均速度的极限,即
若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t,d)为当d趋于0时的极限.

函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义

一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作,即

导函数:

如果函数y =f(x)在开区间(a,6)内的每一点都可导,则称在(a,b)内的值x为自变量,以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx)在(a,b)内的导函数,简称为f(x)在(a,b)内的导数,记作f′(x)或y′.即f′(x)=

切线及导数的几何意义:

(1)切线:PPn为曲线f(x)的割线,当点Pn(xn,f(xn))(n∈N)沿曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=

◎ 导数的概念及其几何意义的知识扩展
1、导数的定义:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作,即
2、切线及导数的几何意义:
切线:PPn为曲线f(x)的割线,当点Pn(xn,f(xn))(n∈N)沿曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。
几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,
即k=

◎ 导数的概念及其几何意义的知识点拨

瞬时速度特别提醒:

①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值.
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度,再对平均速度取极限,

 函数y=f(x)在x=x0处的导数特别提醒:

①当时,比值的极限存在,则f(x)在点x0处可导;若的极限不存在,则f(x)在点x0处不可导或无导数.
②自变量的增量可以为正,也可以为负,还可以时正时负,但.而函数的增量可正可负,也可以为0.
③在点x=x0处的导数的定义可变形为:
    

导函数的特点:

①导数的定义可变形为:
②可导的偶函数其导函数是奇函数,而可导的奇函数的导函数是偶函数,
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数,
④并不是所有函数都有导函数.
⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域(a,b),且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值.
⑥区间一般指开区间,因为在其端点处不一定有增量(右端点无增量,左端点无减量).

导数的几何意义(即切线的斜率与方程)特别提醒

①利用导数求曲线的切线方程.求出y=f(x)在x0处的导数f′(x);利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)(x- x0).
②若函数在x= x0处可导,则图象在(x0,f(x0))处一定有切线,但若函数在x= x0处不可导,则图象在(x0,f(x0))处也可能有切线,即若曲线y =f(x)在点(x0,f(x0))处的导数不存在,但有切线,则切线与x轴垂直.
③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线,前者P点为切点;后者P点不一定为切点,P点可以是切点也可以不是,一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点,
④显然f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角;f′(x0)<o,切线与x轴正向的夹角为钝角;f(x0) =0,切线与x轴平行;f′(x0)不存在,切线与y轴平行.

◎ 导数的概念及其几何意义的教学目标
1、了解导数概念的实际背景。
2、理解导数的几何意义。
◎ 导数的概念及其几何意义的考试要求
能力要求:应用
课时要求:61
考试频率:必考
分值比重:5
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