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使用次数:138
更新时间:2021-11-25
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1.

已知函数 =│ x +1│–│ x –2│.

1 )求不等式 ≥1 的解集;

2 )若不等式 x 2 x + m 的解集非空,求实数 m 的取值范围 .

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题型:解答题
知识点:不等式选讲
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【答案】

1 ;( 2 .

【分析】

1 )由于 f x )= | x +1| | x 2| ,解不等式 f x ≥1 可分﹣ 1≤ x ≤2 x 2 两类讨论即可解得不等式 f x ≥1 的解集;

2 )依题意可得 m ≤[ f x )﹣ x 2 + x ] max ,设 g x )= f x )﹣ x 2 + x ,分 x ≤1 、﹣ 1 x 2 x ≥2 三类讨论,可求得 g x max ,从而可得 m 的取值范围.

【详解】

解:( 1 f x )= | x +1| | x 2| f x ≥1

当﹣ 1≤ x ≤2 时, 2 x 1≥1 ,解得 1≤ x ≤2

x 2 时, 3≥1 恒成立,故 x 2

综上,不等式 f x ≥1 的解集为 { x | x ≥1}

2 )原式等价于存在 x ∈R 使得 f x )﹣ x 2 + x m 成立,

m ≤[ f x )﹣ x 2 + x ] max ,设 g x )= f x )﹣ x 2 + x

由( 1 )知, g x

x 1 时, g x )=﹣ x 2 + x 3 ,其开口向下,对称轴方程为 x 1

g x g (﹣ 1 )=﹣ 1 1 3 =﹣ 5

当﹣ 1 x 2 时, g x )=﹣ x 2 +3 x 1 ,其开口向下,对称轴方程为 x (﹣ 1 2 ),

g x g 1

x ≥2 时, g x )=﹣ x 2 + x +3 ,其开口向下,对称轴方程为 x 2

g x g 2 )=﹣ 4+2+3 1

综上, g x max

m 的取值范围为(﹣ ]

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题.

=
考点梳理:
根据可圈可点权威老师分析,试题“ ”主要考查你对 绝对值不等式 等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下:
◎ 绝对值不等式的定义

绝对值不等式:

当a>0时,有
或x<-a 。

◎ 绝对值不等式的知识扩展
当a>0时,有
或x<-a
◎ 绝对值不等式的知识点拨
绝对值不等式的解法:
 
          (4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法去绝对值符号求解,也可以用图象法求解。
◎ 绝对值不等式的教学目标
1、理解绝对值的几何意义。
2、并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:  
|ax+b|≤|a|+|b|、|a-b|≤|a-c|+|c-b|。
3、会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c。
◎ 绝对值不等式的考试要求
能力要求:应用
课时要求:50
考试频率:必考
分值比重:4
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