已知函数 =│ x +1│–│ x –2│.
( 1 )求不等式 ≥1 的解集;
( 2 )若不等式 ≥ x 2 – x + m 的解集非空,求实数 m 的取值范围 .
( 1 ) ;( 2 ) .
【分析】
( 1 )由于 f ( x )= | x +1| ﹣ | x ﹣ 2| ,解不等式 f ( x ) ≥1 可分﹣ 1≤ x ≤2 与 x > 2 两类讨论即可解得不等式 f ( x ) ≥1 的解集;
( 2 )依题意可得 m ≤[ f ( x )﹣ x 2 + x ] max ,设 g ( x )= f ( x )﹣ x 2 + x ,分 x ≤1 、﹣ 1 < x < 2 、 x ≥2 三类讨论,可求得 g ( x ) max ,从而可得 m 的取值范围.
【详解】
解:( 1 ) ∵ f ( x )= | x +1| ﹣ | x ﹣ 2| , f ( x ) ≥1 ,
∴ 当﹣ 1≤ x ≤2 时, 2 x ﹣ 1≥1 ,解得 1≤ x ≤2 ;
当 x > 2 时, 3≥1 恒成立,故 x > 2 ;
综上,不等式 f ( x ) ≥1 的解集为 { x | x ≥1} .
( 2 )原式等价于存在 x ∈R 使得 f ( x )﹣ x 2 + x ≥ m 成立,
即 m ≤[ f ( x )﹣ x 2 + x ] max ,设 g ( x )= f ( x )﹣ x 2 + x .
由( 1 )知, g ( x ) ,
当 x ≤ ﹣ 1 时, g ( x )=﹣ x 2 + x ﹣ 3 ,其开口向下,对称轴方程为 x 1 ,
∴ g ( x ) ≤ g (﹣ 1 )=﹣ 1 ﹣ 1 ﹣ 3 =﹣ 5 ;
当﹣ 1 < x < 2 时, g ( x )=﹣ x 2 +3 x ﹣ 1 ,其开口向下,对称轴方程为 x ∈ (﹣ 1 , 2 ),
∴ g ( x ) ≤ g ( ) 1 ;
当 x ≥2 时, g ( x )=﹣ x 2 + x +3 ,其开口向下,对称轴方程为 x 2 ,
∴ g ( x ) ≤ g ( 2 )=﹣ 4+2+3 = 1 ;
综上, g ( x ) max ,
∴ m 的取值范围为(﹣ ∞ , ] .
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题.
绝对值不等式:
当a>0时,有;
或x<-a 。
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