己知函数 的定义域为 ，若存在实数 ，使得对于任意 都存在 满足 ，则称函数 为 “ 自均值函数 ” ，其中 称为 的 “ 自均值数 ”.

（ 1 ）判断函数 是否为 “ 自均值函数 ” ，并说明理由：

（ 2 ）若函数 ， 为 “ 自均值函数 ” ，求 的取值范围；

（ 3 ）若函数 ， 有且仅有 1 个 “ 自均值数 ” ，求实数 的值 .

答案

（ 1 ）不是，理由见解析；

（ 2 ） ；

（ 3 ） .

【分析】

(1) 假定函数 是 “ 自均值函数 ” ，由函数 的值域与函数 的值域关系判断作答 .

(2) 根据给定定义可得函数 在 上的值域包含函数 在 上的值域，由此推理计算作答 .

(3) 根据给定定义可得函数 在 上的值域包含函数 在 上的值域，再借助 a 值的唯一性即可推理计算作答 .

（ 1 ）

假定函数 是 “ 自均值函数 ” ，显然 定义域为 R ，则存在 ，对于 ，存在 ，有 ，

即 ，依题意，函数 在 R 上的值域应包含函数 在 R 上的值域，

而当 时， 值域是 ，当 时， 的值域是 R ，显然 不包含 R ，

所以函数 不是 “ 自均值函数 ”.

（ 2 ）

依题意，存在 ，对于 ，存在 ，有 ，即 ，

当 时， 的值域是 ，因此 在 的值域包含 ，

当 时，而 ，则 ，

若 ，则 ， ，此时 值域的区间长度不超过 ，而区间 长度为 1 ，不符合题意，

于是得 ， ，要 在 的值域包含 ，

则 在 的最小值小于等于 0 ，又 时， 递减，且 ，

从而有 ，解得 ，此时，取 ， 的值域是 包含于 在 的值域，

所以 的取值范围是 .

（ 3 ）

依题意，存在 ，对于 ，存在 ，有 ，即 ，

当 时， 的值域是 ，因此 在 的值域包含 ，并且有唯一的 a 值，

当 时， 在 单调递增， 在 的值域是 ，

由 得 ，解得 ，此时 a 的值不唯一，不符合要求，

当 时，函数 的对称轴为 ，

当 ，即 时， 在 单调递增， 在 的值域是 ，

由 得 ，解得 ，要 a 的值唯一，当且仅当 ，即 ，则 ，

当 ，即 时， ， ， ， ，

由 且 得： ，此时 a 的值不唯一，不符合要求，

由 且 得， ，此时 a 的值不唯一，不符合要求，

综上得： ，

所以函数 ， 有且仅有 1 个 “ 自均值数 ” ，实数 的值是 .

【点睛】

结论点睛：若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 .