《九章算术》中有 “ 勾股容方 ” 问题: “ 今有勾五步,股十二步.问:勾中容方几何? ” 魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图 1 ,用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图 2 所示的矩形,该矩形长为 ,宽为内接正方形的边长 d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图 3 ,设 D 为斜边 BC 的中点,作直角三角形 ABC 的内接正方形对角线 AE ,过点 A 作 于点 F ,则下列推理正确的是( )
A .由图 1 和图 2 面积相等得 B .由 可得
C .由 可得 D .由 可得
C
【解析】
【分析】
根据图 1 ,图 2 面积相等,可求得 d 的表达式,可判断 A 选项正误,由题意可求得图 3 中 的表达式,逐一分析 B 、 C 、 D 选项,即可得答案
【详解】
对于 A ,由图 1 和图 2 面积相等得 ,所以 ,故 A 错误;
对于 B ,因为 ,所以 ,所以 , ,因为 ,所以 ,整理得 ,故 B 错误;
对于 C ,因为 D 为斜边 BC 的中点,所以 ,因为 ,所以 ,整理得 ,故 C 正确;
对于 D ,因为 ,所以 ,整理得 ,故 D 错误.
故选: C .
不等式的定义:
一般地,用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式,常见的不等号有“<”“>”“ ≤”“≥”及“≠”。
严格不等式的定义:
用“>"“<”连接的不等式叫做严格不等式。
非严格不等式的定义:
用“≤”和“≥”连接的不等式叫做非严格不等式.
特别提醒:a=b,a>b中,只要有一个成立,就有a≥b.
不等式的性质:
(1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b,即a>bb<a;
(2)如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b,b>ca>c;
(3)如果a>b,那么a+c>b+c;
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc;
(5)如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;
(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;
(7)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2);
(8)如果a>b>0,那么(n∈N,n≥2)。
不等关系与不等式的区别:
不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号“<…>…≤”“≥”来表示,也可以用语言表述;
而不等式则是用来表示不等关系的式子,可用“a>b”‘a<b”“a≥b a≤b”等式子来表示,不等关系是通过不等式来体现的.
不等式的分类:
①按成立的条件分:a.绝对不等式:不等式中的字母取任意实数值都恒成立的不等式叫做绝对不等式;b.条件不等式:不等式中的字母取某些允许值才能成立的不等式叫做条件不等式;c.矛盾不等式:不等式中的字母不论取何实数值都不能成立的不等式叫做矛盾不等式;
②按不等号开口方向分:a.同向不等式:不等号方向相同的两个不等式;b.异向不等式:不等号方向相反的两个不等式.
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