已知长方体的表面积为 ，所有棱长的总和是 ，则该长方体的对角线与棱所成角的最大值为（ ）

A ． B ． C ． D ．

答案

D

【分析】设长方体三边长为 ，利用表面积和棱长综合可构造方程，从而求得 的值，结合基本不等式可构造不等式求得 的范围；设 为长方体的对角线与棱所成角，得到 ，结合余弦函数单调性可知当 最小时， 最大 .

【详解】设长方体三边长为 ，则 ， 则 ，

，

又 ，整理可得： ，

解得： ，

设 为长方体的对角线与棱长为 的棱所成角， ，即 越小， 越大，

当 时， 取得最小值 ，此时 取得最大值 .

故选： D.

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的直线所成角的求解问题，解题关键是能够通过表面积和棱长之和，结合基本不等式构造不等式求得 的范围，由 的范围确定 最小值 .