已知 ，给出下述四个结论 :
① 是偶函数 ; ②
在
上为减函数 ;
③ 在
上为增函数 ; ④
的最大值为
.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A ． ①②④ B ． ①③④ C ． ①②③ D ． ①④
答案
D
【分析】利用偶函数的定义即可判断 ① ；利用举反例即可判断 ② 和 ③ ；分四个范围对 进行化简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到
时的最值，结合偶函数即可判断
【详解】解：对于 ① ，易得 的定义域为
，关于原点对称，
因为
，所以
是偶函数，故正确；
对于 ② 和 ③ ，因为 ，
，
且 ，所以
在
不是减函数，在
也不是增函数，故 ② ， ③ 错误；
对于 ④ ，当 时，
，
因为 ，所以
，
所以 ，所以
；
当 时，
，
因为 ，
所以 ，所以
；
当 时，
；
当 时，
，
因为 ，
所以 ，所以
，
所以，综上所述，当 时，
的最大值为
，由于
为偶函数，所以当
时，
的最大值也为
，故
的最大值为
，故 ④ 正确；
故选： D
【点睛】方法点睛：利用四个象限对 进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用三角函数的性质进行求解值域
