B

【分析】利用诱导公式化简后，再利用正弦函数的单调性比较即可 .

【详解】 ，

因为 ， 在 上为增函数，

所以 ，

所以 ，

故选： B

D

【分析】 所求 “ 兄弟点对 ” 的个数可转化为求 与 图像 的交点个数，作出两个函数的 图像 ，由图得出即可．

【详解】 设 ，则点 关于原点的对称点为 ，

于是， ，只需判断方程根的个数，

即 与 图像 的交点个数，

因为 ， ； ， ；

， ；

作出两函数的图象，由图知， 与 的图象有 5 个焦点， 所以 的 “ 兄弟点对 ” 的个数为 5 个．

故选： D ．

D

【分析】利用偶函数的定义即可判断 ① ；利用举反例即可判断 ② 和 ③ ；分四个范围对 进行化简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到 时的最值，结合偶函数即可判断

【详解】解：对于 ① ，易得 的定义域为 ，关于原点对称，

因为 ，所以 是偶函数，故正确；

对于 ② 和 ③ ，因为 ，

，

且 ，所以 在 不是减函数，在 也不是增函数，故 ② ， ③ 错误；

对于 ④ ，当 时， ，

因为 ，所以 ，

所以 ，所以 ；

当 时， ，

因为 ，

所以 ，所以 ；

当 时， ；

当 时， ，

因为 ，

所以 ，所以 ，

所以，综上所述，当 时， 的最大值为 ，由于 为偶函数，所以当 时， 的最大值也为 ，故 的最大值为 ，故 ④ 正确；

故选： D

【点睛】方法点睛：利用四个象限对 进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用三角函数的性质进行求解值域

D

【分析】利用 为对称中心，列出方程，求出 ， ，求出 的最小值 .

【详解】由题意得： ， ，

解得： ， ，

所以 ， ，

当 时， 取得最小值为 .

故选： D

C

【分析】结合已知条件，利用函数奇偶性可判断 B ；通过判断 在 上的符号可判断 D ；通过判断 在 上的零点个数可判断 AC.

【详解】由题意可知， 的定义域为 ，

因为 ，所以 ，

故 为奇函数，从而 的图像关于原点对称，故 B 错误；

当 时， 且 ，此时 ，故 D 错误；

因为 在 上有无数个零点，

所以 在 上也有无数个零点，故 A 错误， C 正确 .

故选： C.