已知函数 为奇函数，且 图象的相邻两对称轴间的距离为 .

(1) 求 的解析式 .

(2) 将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 ( 纵坐标变 ) ，得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域 .

(3) 对于第（ 2 ）问中的函数 ，记方程 在 上的根从小到依次为 ， ， … ，试确定 的值，并求 的值 .

答案

(1)

(2)

(3)

【分析】（ 1 ）利用三角恒等变换公式，化简函数 f ( x ) 的解析式，利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数值，从而得到函数解析式 .

（ 2 ）利用三角函数的图象变换规律，求得函数 g ( x ) 的解析式，进而求得函数的值域 .

（ 3 ）根据方程结合正弦函数图象得到方程根的个数，结合三角函数图象的对称性分组求和 .

（ 1 ）

由题意，函数

，

因为函数 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，所以 ，可得 ，

又由函数 为奇函数，可得 ，所以 ，

因为 ，所以 ，所以函数 .

（ 2 ）

将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，

再把横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象，

当 时， ，

当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，

当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，

故函数 的值域 .

（ 3 ）

由方程 ，即 ，即 ，

因为 ，可得 ，设 ，其中 ，即 ，

结合正弦函数 的图象，如图所示：

可得方程 在区间 有 5 个解，即 ，

其中 ，

即 ， ，

解得 ，

所以 .