设函数 ．

(1) 求 的单调区间；

(2) 已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证明：

（ ⅰ ）若 ，则 ；

（ ⅱ ）若 ，则 ．

（注： 是自然对数的底数）

答案

(1) 的减区间为 ，增区间为 .

(2) （ ⅰ ）见解析；（ ⅱ ）见解析 .

【分析】（ 1 ）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性 .

（ 2 ）（ ⅰ ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有 3 个不同的解可证明不等式成立，（ ⅱ ） ， ，则题设不等式可转化为 ，结合零点满足的方程进一步转化为 ，利用导数可证该不等式成立 .

【详解】（ 1 ） ，

当 ， ；当 ， ，

故 的减区间为 ， 的增区间为 .

（ 2 ）（ ⅰ ）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，

故 ，

故方程 有 3 个不同的根，

该方程可整理为 ，

设 ，

则

，

当 或 时， ；当 时， ，

故 在 上为减函数，在 上为增函数，

因为 有 3 个不同的零点，故 且 ，

故 且 ，

整理得到： 且 ，

此时 ，

设 ，则 ，

故 为 上的减函数，故 ，

故 .

（ ⅱ ）当 时，同（ ⅰ ）中讨论可得：

故 在 上为减函数，在 上为增函数，

不妨设 ，则 ，

因为 有 3 个不同的零点，故 且 ，

故 且 ，

整理得到： ，

因为 ，故 ，

又 ，

设 ， ，则方程 即为：

即为 ，

记

则 为 有三个不同的根，

设 ， ，

要证： ，即证 ，

即证： ，

即证： ，

即证： ，

而 且 ，

故 ，

故 ，

故即证： ，

即证：

即证： ，

记 ，则 ，

设 ，则 ，所以 ，

，

故 在 上为增函数，故 ，

所以 ，

记 ，

则 ，

所以 在 为增函数，故 ，

故 即 ，

故原不等式得证：

【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等 .