已知 中，点 D 在边 BC 上， ．当 取得最小值时， ．

答案

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【分析】设 ，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解 .

【详解】 [ 方法一 ] ：余弦定理

设 ，

则在 中， ，

在 中， ，

所以

，

当且仅当 即 时，等号成立，

所以当 取最小值时， .

故答案为： .

[ 方法二 ] ：建系法

令 BD=t ，以 D 为原点， OC 为 x 轴，建立平面直角坐标系 .

则 C （ 2t,0 ）， A （ 1 ， ）， B （ -t,0 ）

[ 方法三 ] ：余弦定理

设 BD=x,CD=2x. 由余弦定理得

， ，

， ，

令 ，则 ，

，

，

当且仅当 ，即 时等号成立 .

[ 方法四 ] ：判别式法

设 ，则

在 中， ，

在 中， ，

所以 ，记 ，

则

由方程有解得：

即 ，解得：

所以 ，此时

所以当 取最小值时， ，即 .