设抛物线 的焦点为 F ，点
，过 F 的直线交 C 于 M ， N 两点．当直线 MD 垂直于 x 轴时，
．
(1) 求 C 的方程；
(2) 设直线 与 C 的另一个交点分别为 A ， B ，记直线
的倾斜角分别为
．当
取得最大值时，求直线 AB 的方程．
答案
(1) ；
(2) .
【分析】（ 1 ）由抛物线的定义可得 ，即可得解；
（ 2 ）法一：设点的坐标及直线 ，由韦达定理及斜率公式可得
，再由差角的正切公式及基本不等式可得
，设直线
，结合韦达定理可解 .
【详解】（ 1 ）抛物线的准线为 ，当
与 x 轴垂直时，点 M 的横坐标为 p ，
此时 ，所以
，
所以抛物线 C 的方程为 ；
（ 2 ） [ 方法一 ] ：【最优解】直线方程横截式
设 ，直线
，
由 可得
，
，
由斜率公式可得 ，
，
直线 ，代入抛物线方程可得
，
，所以
，同理可得
，
所以
又因为直线 MN 、 AB 的倾斜角分别为 ，所以
，
若要使 最大，则
，设
，则
，
当且仅当 即
时，等号成立，
所以当 最大时，
，设直线
，
代入抛物线方程可得 ，
，所以
，
所以直线 .
[ 方法二 ] ：直线方程点斜式
由题可知，直线 MN 的斜率存在 .
设 , 直线
由 得：
，
, 同理，
.
直线 MD : , 代入抛物线方程可得：
，同理，
.
代入抛物线方程可得 : , 所以
，同理可得
，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使 最大，则
，
设 ，则
，
当且仅当 即
时，等号成立，
所以当 最大时，
，设直线
，
代入抛物线方程可得 ，
，所以
，所以直线
.
[ 方法三 ] ：三点共线
设 ，
设 , 若 P 、 M 、 N 三点共线，由
所以 ，化简得
，
反之，若 , 可得 MN 过定点
因此，由 M 、 N 、 F 三点共线，得 ，
由 M 、 D 、 A 三点共线，得 ，
由 N 、 D 、 B 三点共线，得 ，
则 ， AB 过定点（ 4,0 ）
（下同方法一）若要使 最大，则
，
设 ，则
，
当且仅当 即
时，等号成立，
所以当 最大时，
，所以直线
.
【整体点评】（ 2 ）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线 的斜率关系，由基本不等式即可求出直线 AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
