D

【分析】

分别由直线的点斜式方程、直线在 轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形逐一核对，即可求解 .

【详解】

对于 A 中，由 表示过点 且斜率存在，且不含点 的直线，所以 A 不正确；

对于 B 中，直线 与 y 轴交于一点 ，其中截距不是距离，截距为点 的坐标，其值可正可负，所以 B 不正确；

对于 C 中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是 ，不能表示为 ，所以 C 不正确；

对于 D 中，方程 为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点 ， 的直线，所以 D 正确 .

故选： D.

C

【详解】

分析：由双曲线的方程根据公式 ，求出 的值，进而可求焦距 .

详解：由双曲线 可得，

，

焦距 ，故选 C.

点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题 .

C

【分析】

根据底面 是正方形， 为 的中点，利用向量的加法的平行四边形法则，得到 ，又由 ，即可求解 .

【详解】

由题意，底面 是正方形， 为 的中点，

根据向量的加法的平行四边形法则，可得

.

故选： C.

D

【分析】

由题意结合斜率的定义求解倾斜角的范围即可 .

【详解】

设直线的倾斜角为 ，由斜率的定义可得： ，且 ，

据此求解三角不等式可得倾斜角的变化范围是 .

本题选择 D 选项 .

【点睛】

本题主要考查直线倾斜角的定义，三角不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .

B

【详解】

试题解析：若 时，方程 表示椭圆，方程 表示斜率 的直线，故 A 错误，若 时，方程 表示双曲线，方程 表示斜率 的直线，故 C 、 D 错误，所以 B 正确，故选 B

考点：椭圆、双曲线标准方程，直线方程

B

【详解】

试题分析：如图所示，过点 作 ，使 ，垂足为 ，过点 作 ，过点 作 ，连接 ，因为 ，所以 ，因为 ，又 ，所以 ，所以 ，在 中，设 ，则 ，在 中，则 ，在 中，则 ，所以异面直线 与 所成的角，即是 , 所以 ，故选 B ．

考点：空间角的求解问题．

【方法点晴】本题主要考查了空间角的求解问题，其中解答中涉及到异面所成角的求解、二面角的应用、以及空间直线与平面的位置关系的应用等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，本题解答的关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．

C

【详解】

试题分析：如图所示：曲线 即 （ x-2 ） ² + （ y-3 ） ² =4 （ -1≤y≤3 ），

表示以 A （ 2 ， 3 ）为圆心，以 2 为半径的一个半圆，

直线与圆相切时，圆心到直线 y=x+b 的距离等于半径 2 ，可得 =2 ，

∴b=1+2 ， b=1-2

当直线过点（ 4 ， 3 ）时，直线与曲线有两个公共点，此时 b=-1

结合图象可得 ≤b≤3

故答案为 C

C

【解析】

【分析】

由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解 .

【详解】

由直线的倾斜角为 45° ，可知直线的斜率为 ，

对于 A ，直线斜率为 ，

对于 B ，直线无斜率，

对于 C ，直线斜率 ，

对于 D ，直线斜率 ，

故选： C

ACD

【分析】

结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线， 时表示两条直线 .

【详解】

对于 A ，若 ，则 可化为 ，

因为 ，所以 ，

即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确；

对于 B ，若 ，则 可化为 ，

此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 B 不正确；

对于 C ，若 ，则 可化为 ，

此时曲线 表示双曲线，

由 可得 ，故 C 正确；

对于 D ，若 ，则 可化为 ，

，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确；

故选： ACD.

【点睛】

本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养 .

AC

【分析】

根据平面向量基本定理逐一判断，举出反例即可得出答案 .

【详解】

解：对于 A ，若 ，则 与 、 共面，故 A 正确；

对于 B ，若 与 、 共面，当 、 共线， 与 不共线时，则 不成立，故 B 错误；

对于 C ，若 ，则 共面，则 P 、 M 、 A 、 B 共面，故 C 正确；

对于 D ，若 P 、 M 、 A 、 B 共面，当 共线， 不再这条直线上时，即 共线，但不与 共线，此时 不成立，故 D 错误 .

故选： AC.

ACD

【分析】

计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断 AB 选项的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断 CD 选项的正误 .

【详解】

圆 的圆心为 ，半径为 ，

直线 的方程为 ，即 ，

圆心 到直线 的距离为 ，

所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ， A 选项正确， B 选项错误；

如下图所示：

当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，

， ，由勾股定理可得 ， CD 选项正确 .

故选： ACD.

【点睛】

结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆 上一点 到直线 的距离的取值范围是 .

BD

【分析】

对于 A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于 B ，将 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于 C ，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数；

对于 D ，考虑借助向量的平移将 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 点的个数．

【详解】

易知，点 在矩形 内部（含边界）．

对于 A ，当 时， ，即此时 线段 ， 周长不是定值，故 A 错误；

对于 B ，当 时， ，故此时 点轨迹为线段 ，而 ， 平面 ，则有 到平面 的距离为定值，所以其体积为定值，故 B 正确．

对于 C ，当 时， ，取 ， 中点分别为 ， ，则 ，所以 点轨迹为线段 ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， ， ， ，则 ， ， ，所以 或 ．故 均满足，故 C 错误；

对于 D ，当 时， ，取 ， 中点为 ． ，所以 点轨迹为线段 ．设 ，因为 ，所以 ， ，所以 ，此时 与 重合，故 D 正确．

故选： BD ．

【点睛】

本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．

【分析】

用基底表示出 ，然后利用向量数量积的运算，求得 .

【详解】

因为 ，

所以

，

所以 .

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题 .

【分析】

根据双曲线定义，设 ，则利用基本不等式的性质， ，根据等号成立条件，求得离心率取值范围 .

【详解】

设 ，则 ，

由双曲线的定义知， ， ∴ ，

∴ ，

当且仅当 ，即 时，等号成立，

∴ 当 的最小值为 时， ， ，

此时 ，解得 ，又 ，

∴ ，

故答案为：

【详解】

椭圆 +y ² =1 焦点在 x 轴上， a= ， b=1 ， c=

∴ 焦点坐标 F ₁ （﹣ ， 0 ） F ₂ （ ， 0 ），

设 A （ x ₁ ， y ₁ ）， B （ x ₂ ， y ₂ ），则 = （ x ₁ + ， y ₁ ）， = （ x ₂ ﹣ ， y ₂ ），

∵ ， ，由点 A ， B 在椭圆上， 解得： x ₁ =0 ， y ₁ =±1 ， ∴ 点 A 的坐标是（ 0 ， ±1 ，）．

故答案为（ 0 ， ±1 ）．

##

【分析】

取 的中点 ， 的中点 ，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，根据 求出 ，再由空间向量的数量积即可求解 .

【详解】

取 的中点 ， 的中点 ，

如图以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，

以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，

不妨设 ，则 ， ， ，

由 ，即 ，解得 ，

所以 ，故 ，

设 为平面 ACQ 的一个法向量，

因为 ， ，

由 ，即 ，

所以 ，

设直线 AP 与平面 ACQ 所成角为 ，

则 .

故答案为：

（ 1 ） （ 2 ）

【分析】

（ 1 ）联立直线方程，即可得交点坐标，再根据直线平行，则斜率相等，写出点斜式即可；

（ 2 ）根据直线垂直，即可求得目标直线的斜率，结合点的坐标，写出点斜式即可 .

【详解】

由 解得 ，

所以交点为（ -1 ， 2 ）

（ 1 ）由已知得所求直线的斜率

∴ 所求直线方程为

即

（ 2 ）因为已知直线斜率为 ，故所求直线的斜率

∴ 所求直线方程为

即

【点睛】

本题考查直线方程的求解，涉及直线平行以及垂直时，斜率之间的关系，属基础题 .

（ 1 ） 或 ； （ 2 ） .

【分析】

（ 1 ）由于 在圆外，故先讨论当直线斜率不存在时得 ，再讨论直线的斜率存在时，根据圆心到直线的距离为半径解方程即可得答案；

（ 2 ）由题意得圆心到直线的距离 ，再结合半弦长，半径与 围成的直角三角形求解即可得答案 .

【详解】

（ 1 ） ∵ ， ∴ 在圆外，

当过点 M 的直线斜率不存在时，易知直线 与圆相切．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即 ，

∵ 直线与圆相切， ∴ 解之得 ，

∴ 切线方程为 ，即

∴ 所求的切线方程为 或 .

（ 2 ）由题意得圆心到直线的距离

又弦长 ，圆的半径 ，

∴ 由 ，解得 .

【点睛】

方法点睛：一般地，直线与圆相交的弦长的求解通过圆心到直线的距离 ，半弦长，半径围成的直角三角形利用勾股定理求解 .

（ 1 ）见解析；

（ 2 ）存在， P 为 DE 靠近 D 端的三等分点 .

【分析】

(1) 证 AE ⊥ 平面 BCE 得 AE ⊥ BF ，结合 BF ⊥ CE 即可得证；

(2) 以 为原点， 为 y 轴， 为 z 轴，过点 作垂直于平面 ABCD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，设 ，表示出 P 点坐标，分别求出平面 的法向量和平面 的法向量，根据二面角的向量算法即可求解．

（ 1 ）

∵ 平面 ABE ， 平面 ABE ， ∴ BC ⊥ AE ，

又 ∵ AE ⊥ EB ， BE BC ＝ B ， BE 和 BC 平面 BCE ，

∴ AE ⊥ 平面 BCE ， ∵ BF 平面 BCE ， ∴ AE ⊥ BF ，

又 ∵ BF ⊥ CE ， AE CE ＝ E ， AE 和 CE 平面 AEC ， ∴ BF ⊥ 平面 AEC ；

（ 2 ）

∵ 平面 ABE ， BC 平面 ABCD ， ∴ 平面 ABCD ⊥ 平面 ABE ，

又 ∵ AD ∥ BC ， ∴ AD ⊥ 平面 ABE ，

故可以 为原点， 为 y 轴， 为 z 轴，过点 作垂直于平面 ABCD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系：

则 ， 0 ， ， ， 2 ， ， ， 0 ， ， ， ， ，

F 是 CE 的中点，则 ，

设 ，则 ， ， ，

， ，

设平面 的法向量为 ，

则 ， ，

令 ，得 ， ， ∴ ，

平面 的法向量 ，二面角 为直二面角，

， ∴ ，解得 ，

存在点 ，位置为当 时，即 P 为 DE 靠近 D 端的三等分点．

（ 1 ）

（ 2 ）

【分析】

（ 1 ）由圆 求得 的坐标，求得 的值，进而求得椭圆的标准方程；

（ 2 ）设直线 的方程为 ，联立方程组得到 ，结合 和判别式，列出不等式组，即可求解 .

（ 1 ）

解：由圆 经过点 ，

令 ，可得 ，解得 或 （舍去）；

令 ，可得 ，解得 或 （舍去），

所以 ，则 ，所以 ，

所以椭圆的标准方程为 .

（ 2 ）

解：设直线 的方程为 ，

联立方程组 ，整理得 ，

设 ，则 ，

所以 ，

因为 ，

所以 ，

因为点 在圆 的外部，所以 ，即 ，解得 或 ，

又由 ，解得 ，

又因为 ，所以 ，

综上可得 ，即 的取值范围 ．

（ 1 ）证明见解析

（ 2 ）

【分析】

（ 1 ）分别取取 、 的中点 、 ，证得 ，进而结合线面垂直的判定定理证得 平面 ，即可证得平面 平面 .

（ 2 ）以 为原点，以 分别为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐标系，求得平面 的一个法向量 和 ，得到 ，进而求得直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围．

（ 1 ）

证明：分别取取 、 的中点 、 ，连接 ，可得 且 ，

因为 平面 ， 平面 ，所以 且 ，

所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，

因为 ，所以 ，

又因为 平面 ，且 平面 ，可得 ，

因为 ，所以 平面 ，所以 平面 ，

又由 平面 ，所以平面 平面 .

（ 2 ）

解：以 为原点，以 分别为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐标系，

如图所示，

则 ，则 ，

设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，

取 ，可得 ，所以 ，

设直线 与平面 所成的角为 ，

令 ，（其中 ），则 ，所以 ，

因为 ，可得 ，

所以直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围 ．

(Ⅰ) ； (Ⅱ)

【分析】

（ I ）由题意可得 ，解得即可．

（ II ）当直线斜率不存在时，设 A （ m ， n ）， B （ m ，﹣ n ），此时 T （ 0 ， 0 ）．则 ＝ 0 ，又 ，联立解得即可；当直线斜率存在时，设 T （ 0 ， t ）（ t≠0 ）， A （ x ₁ ， y ₁ ）， B （ x ₂ ， y ₂ ），设直线方程为： y ＝ k （ x ﹣ m ），则直线 QT 的斜率为﹣ t ，由于 AB⊥QF ，可得 ，由于 BT⊥AQ 可得（﹣ x ₂ ， t ﹣ y ₂ ） • （ 1 ﹣ x ₁ ，﹣ y ₁ ）＝ 0 ，即 x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ ＝ x ₂ +ty ₁ ，与椭圆方程联立得到 △ ＞ 0 即根与系数的关系即可得出．

【详解】

（ I ）由题意可得 ，解得 b ＝ c ＝ 1 ， a ² ＝ 2 ． ∴ 椭圆 C 的方程为 ；

（ II ）假设存在实数 m ，使得垂心 T 在 y 轴上．

当直线斜率不存在时，设 A （ m ， n ）， B （ m ，﹣ n ），此时 T （ 0 ， 0 ）．则 ＝ 0 ， ∴n ² +m （ 1 ﹣ m ）＝ 0 ，

又 ，联立解得 或 m ＝ 1 （舍去）， ∴ ．

当直线斜率存在时，设 T （ 0 ， t ）（ t≠0 ）， A （ x ₁ ， y ₁ ）， B （ x ₂ ， y ₂ ），

设直线方程为： y ＝ k （ x ﹣ m ），则直线 QT 的斜率为﹣ t ， ∵AB⊥QT ， ∴ ，

又 ∵BT⊥AQ ， ∴ （﹣ x ₂ ， t ﹣ y ₂ ） • （ 1 ﹣ x ₁ ，﹣ y ₁ ）＝ 0 ，即 x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ ＝ x ₂ +ty ₁ ，

∴ ， x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ ＝ x ₁ +x ₂ ﹣ m ，（ * ）

联立 化为（ 2t ² +1 ） x ² ﹣ 2mx+m ² ﹣ 2t ² ＝ 0 ，

∵△ ＞ 0 ， ∴2t ² +1 ﹣ m ² ＞ 0 ， ∴ ， ，

∵ ，代入（ * ）可得 ．

∴m ² +3m+1 ＜ 0 ，解得 ，

综上可知：实数 m 的取值范围为 ．

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到 △ ＞ 0 及根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系等是解题的关键，属于中档题．