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2020年高考上海市数学真题含答案解析.doc
年级:高中
难度:中等
更新时间:2020-07-31
下载:180次
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一、解答题(共5题)
1.

已知双曲线Γ1与圆Γ2x2+y2=4+b2b0)交于点AxAyA)(第一象限),曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x|xA|的部分.

1)若xA=,求b的值;

2)当b=,Γ2x轴交点记作点F1F2P是曲线Γ上一点,且在第一象限,且|PF1|=8,求∠F1PF2

3)过点D0)斜率为-的直线l与曲线Γ只有两个交点,记为MN,用b表示,并求的取值范围.

【答案】

12     2arccos   3)(6+2+∞)

【解析】解:(1)由xA=,点A为曲线Γ1与曲线Γ2的交点,联立,解得yA=b=2

2)由题意可得F1F2为曲线Γ1的两个焦点,

由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=82a=4

所以|PF2|=8-4=4,因为b=,则c==3

所以|F1F2|=6

在△PF1F2中,由余弦定理可得cosF1PF2==

0<∠F1PF2<π,可得∠F1PF2=arccos

3)设直线l,可得原点O到直线l的距离d=,所以直线l是圆的切线,设切点为M

所以kOM=,并设OMy=x与圆x2+y2=4+b2联立,可得x2+=4+b2

可得x=by=2,即Mb2),

注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行,

所以只有当yA2时,直线l才能与曲线Γ有两个交点,

所以有4,解得b22+2b22-2(舍去),

因为上的投影可得,=4+b2

所以=4+b26+2

∈(6+2+∞).

【考点】平面向量数量积的性质及其运算;直线与双曲线的综合.

【专题】方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.

【分析】(1)联立曲线Γ1与曲线Γ2的方程,以及xA=,解方程可得b

2)由双曲线的定义和三角形的余弦定理,计算可得所求角;

3)设直线l,求得O到直线l的距离,判断直线l与圆的关系:相切,可设切点为M,考虑双曲线的渐近线方程,只有当yA2时,直线l才能与曲线Γ有两个交点,解不等式可得b的范围,由向量投影的定义求得,进而得到所求范围.

【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质,考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立,以及向量的数量积的几何意义,考查方程思想和化简运算能力,属于中档题.

组卷:121次
难度:中等
知识点:圆锥曲线与方程
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2.

已知函数fx=sinωx,ω>0

1fx)的周期是4π,求ω,并求fx=的解集;

2)已知ω=1gx=f2x+f-xf-x),,求gx)的值域.

【答案】

1{x|x4kπ+x4kπ+kZ}   2

【解析】解:(1)由于fx)的周期是4π,所以ω=,所以fx=sin

x

sinx,故x2kπ+2kπ+,整理得x4kπ+x4kπ+

故解集为{x|x4kπ+x4kπ+kZ}

2)由于ω=1

所以fx=sinx

所以gx=sin2x+sin(x)sin(x)=sin2x=-sin2xcos2x+=-sin2x+).

由于

所以2x+

sin(2x+)1

故−1≤−sin(2x+)≤−

故−g(x)0

所以函数gx)的值域为

【考点】两角和与差的三角函数;三角函数的周期性.三角方程

【专题】转化思想;数学模型法;三角函数的求值;三角函数的图象与性质;逻辑推理;数学运算.

【分析】(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果.

2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域.

【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.

组卷:195次
难度:中等
知识点:三角函数
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3.

已知ABCD是边长为1的正方形,正方形ABCDAB旋转形成一个圆柱.

1)求该圆柱的表面积;

2)正方形ABCDAB逆时针旋转ABC1D1,求线段CD1与平面ABCD所成的角.

     

【答案】

14π (2

【解析】解:(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成,

S=2×π×12+2π×1=4π.

故该圆柱的表面积为4π.

2)∵正方形ABC1D1,∴AD1AB

又∠DAD1=,∴AD1AD

ADAB=A,且ADAB⊂平面ADB

AD1⊥平面ADB,即D1在面ADB上的投影为A

连接CD1,则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角,

cosD1CA=

∴线段CD1与平面ABCD所成的角为

【考点】直线与平面所成的角.

【专题】计算题;综合题;空间角;直观想象;数学运算.

【分析】(1)该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成,依次求出圆面和矩形的面积,相加即可;

2)先利用线面垂直的判定定理证明AD1⊥平面ADB,连接CD1,则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角,再利用三角函数的知识求出cosD1CA即可.

【点评】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题,熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键,考查学生的空间立体感和运算能力,属于基础题.

组卷:176次
难度:中等
知识点:空间几何体
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4.

在研究某市场交通情况时,道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间,车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度,现定义交通流量为v=x为道路密度,q为车辆密度.

v=fx=

1)若交通流量v95,求道路密度x的取值范围;

2)已知道路密度x=80,交通流量v=50,求车辆密度q的最大值.

【答案】

1)(340  2

【解析】解:(1)∵v=,∴v越大,x越小,

v=fx)是单调递减函数,k0

40x80时,v最大为85

于是只需令100135()x95,解得x3

故道路密度x的取值范围为(340).

2)把x=80v=50代入v=fx=-kx-40+85中,

50=-k40+85,解得k=

q=vx=

0x40时,q单调递增,q100×40-135×()40×404000

40x80时,q是关于x的二次函数,开口向下,对称轴为x=,

此时q有最大值,为−×()2+120×=4000

故车辆密度q的最大值为

【考点】根据实际问题选择函数类型.几类不同增长的函数模型的特点

【专题】分类讨论;数学模型法;函数的性质及应用;逻辑推理.

【分析】(1)易知v越大,x越小,所以v=fx)是单调递减函数,k0,于是只需令100135()x95,解不等式即可;

2)把x=80v=50代入v=fx)的解析式中,求出k的值,利用q=vx可得到q关于x的函数关系式,分段判断函数的单调性,并求出各自区间上q的最大值,取较大者即可.

【点评】本题考查分段函数的实际应用,考查学生分析问题和解决问题的能力,以及运算能力,属于中档题.

组卷:124次
难度:中等
知识点:函数的应用
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5.

已知数列{an}为有限数列,满足|a1-a2||a1-a3|≤…≤|a1-am|,则称{an}满足性质P

1)判断数列325143251是否具有性质P,请说明理由;

2)若a1=1,公比为q的等比数列,项数为10,具有性质P,求q的取值范围;

3)若{an}123,…,m的一个排列(m4),{bn}符合bk=ak+1k=12,…,m-1),{an}{bn}都具有性质P,求所有满足条件的数列{an}

【答案】

见解析。

【解析】解:(1)对于数列3251,有|2-3|=1|5-3|=2|1-3|=2,满足题意,该数列满足性质P

对于第二个数列43251|3-4|=1|2-4|=2|5-4|=1.不满足题意,该数列不满足性质P

2)由题意:|a1-a1qn||a1-a1qn-1|,可得:|qn-1||qn-1-1|n{23,…,9}

两边平方可得:q2n-2qn+1q2n-2-2qn-1+1

整理可得:(q-1qn-1[qn-1q+1-2]0,当q1时,得qn-1q+1-20此时关于n恒成立,

所以等价于n=2时,qq+1-20

所以,(q+2)(q-1)≥0,所以q-2,或q1,所以取q1

0q1时,得qn-1q+1-20,此时关于n恒成立,所以等价于n=2时,qq+1-20

所以(q+2)(q-1)≤0,所以-2q1,所以取0q1

-1q0时:qn-1[qn-1q+1-2]0

n为奇数时,得qn-1q+1-20,恒成立,当n为偶数时,qn-1q+1-20,不恒成立;

故当-1q0时,矛盾,舍去.

q-1时,得qn-1[qn-1q+1-2]0,当n为奇数时,得qn-1q+1-20,恒成立,

n为偶数时,qn-1q+1-20,恒成立;故等价于n=2时,qq+1-20

所以(q+2)(q-1)≥0,所以q-2q1,所以取q-2

综上q∈(-∞,-2]∪(0+∞).

3)设a1=pp{34,…,m-3m-2}

因为a1=pa2可以取p-1,或p+1a3可以取p-2,或p+2

如果a2a3取了p-3p+3,将使{an}不满足性质P;所以{an}的前5项有以下组合:

a1=pa2=p-1a3=p+1a4=p-2a5=p+2

a1=pa2=p-1a3=p+1a4=p+2a5=p-2

a1=pa2=p+1a3=p-1a4=p-2a5=p+2

a1=pa2=p+1a3=p-1a4=p+2a5=p-2

对于①,b1=p-1|b2-b1|=2|b3-b1|=1,与{bn}满足性质P矛盾,舍去;

对于②,b1=p-1|b2-b1|=2|b3-b1|=3|b4-b1|=2{bn}满足性质P矛盾,舍去;

对于③,b1=p+1|b2-b1|=2|b3-b1|=3|b4-b1|=1{bn}满足性质P矛盾,舍去;

对于④b1=p+1|b2-b1|=2|b3-b1|=1,与{bn}满足性质P矛盾,舍去;

所以P{34,…,m-3m-2},均不能同时使{an}{bn}都具有性质P

p=1时,有数列{an}123,…,m-1m满足题意.

p=m时,有数列{an}mm-,…,321满足题意.

p=2时,有数列{an}213,…,m-1m满足题意.

p=m-1时,有数列{an}m-1mm-2m-3,…,321满足题意.

所以满足题意的数列{an}只有以上四种.

【考点】数列的应用;等差数列与等比数列的综合.等比数列的实际应用

【专题】计算题;转化思想;分析法;函数的性质及应用;等差数列与等比数列;数学运算.

【分析】(1)根据定义,验证两个数列325143251是否具有性质P即可;

2)假设公比q的等比数列满足性质p,可得:|a1-a1qn||a1-a1qn-1|,推出(q-1qn-1(qn-1q+1-2)0,通过q10q1时,-1q0时:q-1时,四种情况讨论求解即可.

3)设a1=p,分p=1时,当p=m时,当p=2时,当p=m-1时,以及P{34,…,m-3m-2},五种情况讨论,判断数列{an}的可能情况,分别推出{bn}判断是否满足性质P即可.

【点评】本题考查数列的综合应用,不等式以及不等关系,二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用,考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目,必须由高的数学思维逻辑修养才能解答.

组卷:158次
难度:中等
知识点:数列
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二、选择题(共4题)
1.

命题p:存在aRa0,对于任意的xR,使得fx+a)<fx+fa);

命题q1fx)单调递减且fx)>0恒成立;

命题q2fx)单调递增,存在x00使得fx0=0

则下列说法正确的是(  )

A.只有q1p的充分条件

B.只有q2p的充分条件

Cq1q2都是p的充分条件

Dq1q2都不是p的充分条件

【答案】

C

【解析】解:对于命题q1:当fx)单调递减且fx)>0恒成立时,

a0时,此时x+ax

又因为fx)单调递减,

所以fx+a)<fx

又因为fx)>0恒成立时,

所以fx)<fx+fa),

所以fx+a)<fx+fa),

所以命题q1⇒命题p

对于命题q2:当fx)单调递增,存在x00使得fx0=0

a=x00时,此时x+axfa=fx0=0

又因为fx)单调递增,

所以fx+a)<fx),

所以fx+a)<fx+fa),

所以命题p2⇒命题p

所以q1q2都是p的充分条件

【考点】充分条件、必要条件、充要条件.命题及充要条件与必要条件

【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用;简易逻辑;逻辑推理.

【分析】对于命题q1:当a0时,结合fx)单调递减,可推出 fx+a)<fx)<fx+fa),命题q1是命题p的充分条件.对于命题q2:当a=x00时,fa=fx0=0,结合fx)单调递增,推出fx+a)<fx),进而fx+a)<fx+fa),命题q2都是p的充分条件.

【点评】本题考查命题的真假,及函数的单调性,关键是分析不等式之间关系,属于中档题.

组卷:108次
难度:容易
知识点:常用逻辑用语
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2.

已知直线方程3x+4y+1=0的一个参数方程可以是(  )

At为参数)

Bt为参数)

Ct为参数)

Dt为参数)

【答案】

B

【解析】解:t为参数)的普通方程为:,即4x+3y-1=0,不正确;

sub>

t为参数)的普通方程为:,即3x+4y+1=0,正确;

sub>

t为参数)的普通方程为:,即4x+3y-1=0,不正确;

sub>

t为参数)的普通方程为:,即3x+4y-7=0,不正确;

【考点】直线的参数方程.

【专题】计算题;转化思想;分析法;坐标系和参数方程;数学运算.

【分析】选项的参数方程,化为普通方程,判断即可.

【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的互化,是基本知识的考查.

组卷:136次
难度:容易
知识点:坐标系与参数方程
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3.

下列等式恒成立的是(  )

Aa2+b22ab       Ba2+b2-2ab      Ca+b2   Da2+b2-2ab

【答案】

B

【解析】解:A.显然当a0b0时,不等式a2+b22ab不成立,故A错误;

B.∵(a+b20,∴a2+b2+2ab0,∴a2+b2-2ab,故B正确;

C.显然当a0b0时,不等式a+b2不成立,故C错误;

D.显然当a0b0时,不等式a2+b2-2ab不成立,故D错误.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想;转化法;不等式;逻辑推理.

【分析】利用(a+b20恒成立,可直接得到a2+b2-2ab成立,通过举反例可排除ACD

【点评】本题考查了基本不等式的应用,考查了转化思想,属基础题.

组卷:123次
难度:容易
知识点:不等式
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4.

在棱长为10的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为左侧面ADD1A1上一点,已知点PA1D1的距离为3PAA1的距离为2,则过点P且与A1C平行的直线相交的面是(  )

          

AAA1B1B    BBB1C1C    CCC1D1D    DABCD

【答案】

D

【解析】解:如图,

由点PA1D1的距离为3PAA1的距离为2

可得P在△AA1D内,过PEFA1D,且EFAA1EEFADF

在平面ABCD中,过FFGCD,交BCG,则平面EFG∥平面A1DC

连接AC,交FGM,连接EM

∵平面EFG∥平面A1DC,平面A1AC∩平面A1DC=A1C,平面A1AC∩平面EFM=EM

EMA1C

在△EFM中,过PPNEM,且PNFMN,则PNA1C

∵线段FM在四边形ABCD内,N在线段FM上,∴N在四边形ABCD内.

∴过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.空间几何线面平行—中位线证明法

【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离;直观想象.

【分析】由图可知点P在△AA1D内,过PEFA1D,且EFAA1EEFADF,在平面ABCD中,过FFGCD,交BCG,由平面与平面平行的判定可得平面EFG∥平面A1DC,连接AC,交FGM,连接EM,再由平面与平面平行的性质得EMA1C,在△EFM中,过PPNEM,且PNFMN,可得PNA1C,由此说明过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD

【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用,考查空间想象能力与思维能力,是中档题.

组卷:169次
难度:容易
知识点:点 直线 平面之间的位置
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三、填空题(共12题)
1.

已知kN*)是平面内两两互不相等的向量,满足||=1,且||{12}(其中i=12j=12,…,k),则k的最大值是       

【答案】

6

【解析】解:如图,设

||=1,且||{12}

分别以A1A2为圆心,以12为半径画圆,其中任意两圆的公共点共有6个.

故满足条件的k的最大值为6

【考点】两向量的和或差的模的最值;向量数乘和线性运算.

数乘向量

【专题】转化思想;数形结合法;平面向量及应用;直观想象.

【分析】设,结合向量的模等于12画出图形,由圆的交点个数即可求得k的最大值.

【点评】本题考查两向量的线性运算,考查向量模的求法,正确理解题意是关键,是中档题.

组卷:139次
难度:容易
知识点:平面向量
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2.

已知椭圆C的右焦点为F,直线l经过椭圆右焦点F,交椭圆CPQ两点(点P在第二象限),若点Q关于x轴对称点为Q′,且满足PQFQ′,求直线l的方程是           

【答案】

x+y-1=0

【解析】

解:椭圆C的右焦点为F10),直线l经过椭圆右焦点F,交椭圆CPQ两点(点P在第二象限),若点Q关于x轴对称点为Q′,且满足PQFQ′,可知直线l的斜率为-1,所以直线l的方程是:y=-x-1),即x+y-1=0

【考点】椭圆的性质.

【专题】计算题;转化思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.

【分析】求出椭圆的右焦点坐标,利用已知条件求出直线的斜率,然后求解直线方程.

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用直线与直线的对称关系的应用,直线方程的求法,是基本知识的考查.

组卷:106次
难度:容易
知识点:直线与方程
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3.

已知数列{an}是公差不为零的等差数列,且a1+a10=a9,则      

【答案】

【解析】解:根据题意,等差数列{an}满足a1+a10=a9,即a1+a1+9d=a1+8d,变形可得a1=-d,所以

【考点】等差数列的前n项和.秒杀——等差数列前n项和的性质

【专题】计算题;方程思想;转化思想;等差数列与等比数列;数学运算.

【分析】根据等差数列的通项公式可由a1+a10=a9,得a1=-d,在利用等差数列前n项和公式化简即可得出结论.

【点评】本题考查等差数列的前n项和与等差数列通项公式的应用,注意分析a1d的关系,属于基础题.

组卷:116次
难度:容易
知识点:数列
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4.

已知行列式=6,则=         .

【答案】

2

【解析】解:行列式=6,可得3=6,解得=2

【考点】行列式.行列式的计算与应用

【专题】计算题;转化思想;分析法;矩阵和变换;数学运算.

【分析】直接利用行列式的运算法则求解即可.

【点评】本题考查行列式的应用,代数余子式的应用,是基本知识的考查.

组卷:135次
难度:容易
知识点:矩阵与变换
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5.

已知函数fx=x3f′(x)是fx)的反函数,则f′(x=        .

【答案】

【解析】解:由y=fx=x3,得x=

xy互换,可得fx=x3的反函数为f-1x=

【考点】导数及其几何意义.导数的几何意义与物理意义

【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用;数学运算.

【分析】由已知求解x,然后把xy互换即可求得原函数的反函数.

【点评】本题考查函数的反函数的求法,注意反函数的定义域是原函数的值域,是基础题.

组卷:168次
难度:容易
知识点:集合与函数的概念
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6.

计算:=         .

【答案】

【解析】

【考点】数列的极限.数列极限的概念

【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用;数学运算.

【分析】由极限的运算法则和重要数列的极限公式,可得所求值.

【点评】本题考查数列的极限的求法,注意运用极限的运算性质,考查运算能力,是一道基础题.

组卷:137次
难度:容易
知识点:导数及其应用
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7.

已知集合A={124},集合B={245},则AB=      .

【答案】

{24}

【解析】解:因为A={123}B={245},则AB={24}

【考点】交集及其运算.

【专题】集合思想;定义法;集合;逻辑推理.

【分析】由交集的定义可得出结论.

【点评】本题考查交集的定义,属于基础题.

组卷:113次
难度:容易
知识点:集合与函数的概念
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8.

已知复数z=1-2ii为虚数单位),则|z|=       .

【答案】

【解析】解:由z=1-2i,得|z|=

【考点】复数的运算.复数的乘除法运算

【专题】计算题;对应思想;数学模型法;数系的扩充和复数;数学运算.

【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解.

【点评】本题考查复数模的求法,是基础的计算题.

组卷:175次
难度:容易
知识点:数系的扩充与复数的引入
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9.

已知xy满足,则z=y-2x的最大值为         .

【答案】

-1

【解析】解:由约束条件澴鞒隹尚杏蛉缤家跤安糠郑/span>

化目标函数z=y-2xy=2x+z

由图可知,当直线y=2x+zA时,直线在y轴上的截距最大,

联立,解得,即A11).

z有最大值为1-2×1=-1

【考点】简单线性规划.线性规划

【专题】运动思想;数形结合法;不等式的解法及应用;数学运算.

【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.

组卷:152次
难度:容易
知识点:不等式
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10.

已知有四个数12ab,这四个数的中位数是3,平均数是4,则ab=      .

【答案】

36

【解析】解:因为四个数的平均数为4,所以a+b=4×4-1-2=13

因为中位数是3,所以,解得a=4,代入上式得b=13-4=9

所以ab=36

【考点】众数、中位数、平均数.离散型随机变量均值的求法

【专题】计算题;整体思想;综合法;概率与统计;逻辑推理.

【分析】分别由题意结合中位数,平均数计算方法得a+b=13,解得ab,再算出答案即可.

【点评】本题考查样本的数字特征,中位数,平均数,属于基础题.

组卷:196次
难度:容易
知识点:统计
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组卷/试题篮
11.

6个人挑选4个人去值班,每人值班一天,第一天安排1个人,第二天安排1个人,第三天安排2个人,则共有         种安排情况.

【答案】

180

【解析】解:根据题意,可得排法共有=180种.

【考点】排列、组合及简单计数问题.排列组合中的相邻问题

【专题】整体思想;定义法;排列组合;逻辑推理;数学运算.

【分析】根据题意,由组合公式得共有排法,计算即可得出答案.

【点评】本题考查组合数公式,解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式,属于基础题.

组卷:185次
难度:容易
知识点:计数原理
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组卷/试题篮
12.

aR,若存在定义域为R的函数fx)同时满足下列两个条件:

1)对任意的x0Rfx0)的值为x0x02

2)关于x的方程fx=a无实数解,

a的取值范围是            

【答案】

-∞,0)∪(01)∪(1+∞)

【解析】解:根据条件(1)可得f0=0f1=1,又因为关于x的方程fx=a无实数解,所以a01,故a∈(-∞,0)∪(01)∪(1+∞).

【考点】函数的零点与方程根的关系.方程的根与函数的零点

【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用;数学运算.

【分析】根据条件(1)可知x0=01,进而结合条件(2)可得a的范围

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系,属于基础题.

组卷:155次
难度:容易
知识点:函数的应用
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组卷/试题篮
试卷统计
试题总数:
21
总体难度:
中等
题型统计
大题类型
题目数
占比
解答题
5
23.80%
选择题
4
19.04%
填空题
12
57.14%
知识点统计
知识点
题目数
占比
圆锥曲线与方程
1
4.76%
三角函数
1
4.76%
常用逻辑用语
1
4.76%
坐标系与参数方程
1
4.76%
平面向量
1
4.76%
直线与方程
1
4.76%
数列
2
9.52%
矩阵与变换
1
4.76%
集合与函数的概念
2
9.52%
导数及其应用
1
4.76%
数系的扩充与复数的引入
1
4.76%
不等式
2
9.52%
统计
1
4.76%
计数原理
1
4.76%
函数的应用
2
9.52%
点 直线 平面之间的位置
1
4.76%
空间几何体
1
4.76%
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