2020江苏高一下学期苏教版高中数学期中考试137577
高中
整体难度：中等
2020-09-15
题号
一
二
三
四
五
评分
一、解答题 (共6题)
添加该题型下试题
1.
已知圆C经过A(﹣2，0)，B(1，
)两点，且圆心C在直线l1：y＝x上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知过点P(1，2)的直线l2与圆C相交截得的弦长为
，求直线l2的方程；
（3）已知点M(1，1)，在平面内是否存在异于点M的定点N，对于圆C上的任意动
点Q，都有
为定值?若存在求出定点N的坐标，若不存在说明理由．
难度：
知识点：圆与方程
使用次数：166
【答案】
解：（1）因为圆C经过A（﹣2，0），B（1，
）两点，且圆心C在直线l1：y＝x上，
设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
所以（﹣2）2﹣2D+F＝0，12+（）2+D+E+F＝0，﹣
＝﹣
，
所以D＝E＝0，F＝﹣4．
所以圆C：x2+y2＝4．
（2）当斜率不存在的时候，x＝1，弦长为2，满足题意；
当斜率存在的时候，设l2：y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0，
＝1，k＝
，
所以直线l2的方程为：x＝1或3x﹣4y+5＝0．
（3）设Q（x0，y0），N（m，n），且x02+y02＝4．
＝
＝
，
因为为定值，设
＝λ，
化简得：（2λ﹣2m）x0+（2λ﹣2n）y0+m2+n2+4﹣6λ＝0，与Q点位置无关，
所以
，
解得m＝n＝1或m＝n＝2．
所以定点为（2，2）．
2.
如图，OPQ是半径为2，圆心角为
的扇形，点A在弧
上（异于点P，Q），过点
A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝
，四边形ACOB的面积为S．
（1）求S关于的函数关系式；
（2）当为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．
难度：
知识点：三角函数
使用次数：116
【答案】
解：（1）因为AB⊥OP，所以在Rt△OAB中，AB＝OAsinθ＝2sinθ，OB＝OAcosθ＝2cosθ，
，
因为
，所以
；
同理：
；
从而S关于θ的解析式为
S＝S△ABO+S△ACO＝sin2θ+sin（
﹣2θ），（0＜θ＜
）；（不写定义域扣分）
（2）化简函数
＝
＝
＝
＝
＝
，
因为
，所以
，
故当
，即
时S有最大值，最大值为
．
答：当θ为
时，面积S有最大值，最大值为．
3.
如图,在三棱锥
中,平面
⊥平面
,
,
分别是
,
的中点.
求证:(1)
∥平面
(2)平面
⊥平面.
难度：
知识点：点 直线 平面之间的位置
使用次数：127
【答案】
证明：（1）在△APC中，因为E，F分别是PA，AC的中点，
所以EF∥PC，
又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
所以EF∥平面PBC；
（2）因为AB＝BC，且点F是AC的中点，
所以BF⊥AC，
又平面ABC⊥平面PAC，平面ABC∩平面PAC＝AC，BF⊂平面ABC，
所以BF⊥平面PAC，
因为EF⊂平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PAC．
4.
已知α∈
，且
.
(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－
，β∈
，求cos β的值．
难度：
知识点：三角恒等变换
使用次数：120
【答案】
解：（1）∵α∈（
，π），且sin
+cos＝
，两边平方可得：1+sinα＝
，∴sinα＝
，可得：cosα＝﹣
＝﹣
．
（2）∵由（1）可得：sin α＝
，cosα＝﹣
．
∵
＜α＜π，＜β＜π，∴﹣＜α﹣β＜，
又sin（α﹣β）＝﹣
，得cos（α﹣β）＝
，
∴cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）＝﹣×+×（﹣）＝﹣
．
5.
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F
是线段PC中点，G为线段EC中点．
（1）求证：FG//平面PBD；
（2）求证：BD⊥FG．
难度：
知识点：点 直线 平面之间的位置
使用次数：132
【答案】
证明：（Ⅰ）连接PE，G、F为EC和PC的中点，
∴FG∥PE，FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，
∴FG∥平面PBD
（Ⅱ）∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，
又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，FG⊂平面PAC，
∴BD⊥FG
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试题总数：
22
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
2
9.09%
容易
20
90.90%
题型统计
大题类型
数量
占比
解答题
6
27.27%
填空题
4
18.18%
选择题
12
54.54%
知识点统计
知识点
数量
占比
圆与方程
4
18.18%
三角函数
6
27.27%
点 直线 平面之间的位置
7
31.81%
三角恒等变换
2
9.09%
直线与方程
3
13.63%
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