（1）（2）（3）

【解析】

（1）将函数写成分段函数的性质，根据分段函数在上是单调增函数，即可求得参数的范围；

（2）根据题意，分离参数，将问题转化求解函数在区间上最值的问题，即可求得；

（3）将方程根的个数的问题，转化为函数图像交点个数的问题，求出函数的值域，结合函数的单调性即可求得.

【详解】（1）∵函数.

由于在R上是连续的增函数，

所以只要当时为增函数且当时也为增函数；

即，解得，则a的范围为.

（2）由题意得对任意的实数，恒成立，

即，当恒成立，

即，

∴，

∴，

故且在上恒成立，

即在时，只要的最大值且的最小值即可，

而当时，为增函数，；

当时，增函数，，

∴.

所以满足条件的所有.

（3）由题意得，关于x的方程有三个不相等的实数根

有三个不相等的实数根；

即与有三个不同的交点；

①当时，由（1）知，在R上是增函数，

则关于x的方程不可能有三个不等的实数根；

②当时，由.

当时，∵，

∴对称轴，

则在为增函数；

此时的值域为，

当时，对称轴，

∵，∴，

∴对称轴，

则在为增函数，此时的值域为，

在为减函数，此时的值域为；

综上所述，若存在，使与有三个不同的交点，

则，

即存在，使得即可，

令，

只要使即可，而在上是增函数，

.

故可得.

【点睛】本题考查由分段函数在上的单调性求参数的范围，以及由恒成立问题求参数的范围，涉及由方程根的个数，求参数的范围，属综合性中档题.

（1）时：时：

【解析】

（1）设，化简得到函数，讨论对称轴范围和两种情况计算得到答案.

（2）根据化简得到，代入函数得到，设

得到函数，根据函数的单调性得到取值范围.

【详解】（1），设，，对称轴为

当时：；

当时：.

综上所述：时：；时：

（2），则

化简得到：

即

设则

易知函数在单调递增，故即

【点睛】本题考查了函数的最值问题，求参数的取值范围，意在考查学生对于函数性质和换元法的灵活运用.

（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）求出点的横坐标，线段中点坐标，再求函数的最小正周期，从而求出、的值，即可写出函数解析式；

（2）由题意得出，再利用诱导公式可求出的值；

（3）由函数的解析式，利用分离常数法得出，求出时，的范围，可得出关于的不等式，解出即可.

【详解】（1）根据题意，点与点关于点对称，点的横坐标为.

又点与点关于直线对称，

函数的最小正周期，，

又，，

解得，，，因此，；

（2）由，，，

所以，，

所以；

（3），

令，得，

当时，，所以，

所以，解得，

所以实数的取值范围是.

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题以及三角函数值的计算，也考查了函数与方程思想方法，是综合题．

（1）；（2）当时，的值最小，最小值为

【解析】

（1）利用已知条件，根据锐角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；

（2）根据题意，将表示为的函数，利用倍角公式对函数进行转化，利用换元法，借助对勾函数的单调性，从而求得最小值.

【详解】（1）在中，，

所以；

设正方形的边长为x，则，，

由，得，

解得；

所以；

（2）

，

令，因为，

所以，则，

所以；

设，

根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，

因此当时，有最小值，

此时，解得；

所以当时，的值最小，最小值为.

【点睛】本题考查倍角公式的使用，三角函数在锐角三角形中的应用，以及利用对勾函数的单调性求函数的最值，涉及换元法，属综合性中档题.

（1）；（2）．

【解析】

（1）求出集合、，然后利用补集和交集的定义可求出集合；

（2）由可得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可.

【详解】（1）据题意，当时，.

，所以，

因此，；

（2），，所以或，解得或，

因此，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查集合的基本运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查运算求解能力，属于中等题.