如图, 矩形中, , , 现以矩形的边为轴, 的中点 

   为原点建立直角坐标系, 是轴上方一点, 使得、与线段分别交于点、,

   且成等比数列.

  (1) 求动点的轨迹方程；

  (2) 求动点到直线距离

     的最大值及取得最大值时点的坐标．

答案

解：（1）设点的坐标为，过作交的延长线于，交的延

长线于.

在中, , 得，

得.　　　　　　　　　

在中, ,

得.　　　　　　　　　　

同理可得.　　　　　　　

∵ 成等比数列，

∴ .

∴ .

化简得.

∴ 动点的轨迹方程为.　　　

(2)由图易知当与直线平行的直线与半椭圆相切于点时，点到直线距离的最大.

 设与直线平行的直线方程为，代入，

得 ，①　　　　　　　　　　　　　　　　

由，

解得，由，得.　　　　　　　　　　　　　　　

故点到直线距离的最大值为.　　　　　

把代入①式，可解得点的坐标为.