设函数
.
(I)若曲线
与曲线
在它们的交点
处具有公共切线,求
的值;
(II)当
时,若函数
在区间
内恰有两个零点,求
的取值范围;
(III)当
时,求函数在区间
上的最大值
答案
解:(I)
.
因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以
,且
,
即
,且
,
解得
.
(II)记
,当时,
,
,
令
,得
.
当
变化时,
的变化情况如下表:
|
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|
|
|
|
| 0 | — | 0 |
|
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| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数
的单调递增区间为
;单调递减区间为
,
①当
时,即
时,在区间上单调递增,所以在区间上的最大值为
;
②当
且
,即
时,在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,所以在区间上的最大值为
；
当且
,即
时，t+3<2且h(2)=h(-1)，所以在区间上的最大值为；
, 
, 
, 
