若存在常数、、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.

（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.

①当时，求；

②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.

答案

．（1）①方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，

，，.             ……………3分

方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，

∴，，，，，，，…

∴当时，是周期为3的周期数列.

∴.                                                           ……………3分

②方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

∴，

∴是以为首项、6为公差的等差数列，

又，

，                       ……………6分

，，设，则，

又，

当时，，；当时，，，

∴，∴，                                   ……………9分

∴，得.                                                ……………10分

方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，

∴，∴，∴是首项为、公差为6的等差数列，

∴，

易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，

，

，                                 ………………6分

以下同方法一.

（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为、、，

则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，

当时，，即恒成立，     ……………12分

①若，则，；

②若，则，则为常数，则，为偶数，，；

经检验，满足条件的的通项公式为或.                  ……………16分

方法二：设的段长、段比、段差分别为、、，

①若，则，，，，

由，得；由，得，

联立两式，得或，则或，经检验均合题意.    …………13分

②若，则，，，

由，得，得，则，经检验适合题意.

综上①②，满足条件的的通项公式为或.               …