已知数列{a_n}为有限数列，满足|a₁-a₂|≤|a₁-a₃|≤…≤|a₁-a_m|，则称{a_n}满足性质P．

（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；

（2）若a₁=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；

（3）若{a_n}是1，2，3，…，m的一个排列（m≥4），{b_n}符合b_k=a_k+1（k=1，2，…，m-1），{a_n}、{b_n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a_n}．

答案

见解析。

【解析】解：（1）对于数列3，2，5，1，有|2-3|=1，|5-3|=2，|1-3|=2，满足题意，该数列满足性质P；

对于第二个数列4、3、2、5、1，|3-4|=1，|2-4|=2，|5-4|=1．不满足题意，该数列不满足性质P．

（2）由题意：|a₁-a₁qⁿ|≥|a₁-a₁q^n-1|，可得：|q^n-1|≥|q^n-1-1|，n∈{2，3，…，9}，

两边平方可得：q²ⁿ-2qⁿ+1≥q^2n-2-2qⁿ-1+1，

整理可得：（q-1）q^n-1[q^n-1（q+1）-2]≥0，当q≥1时，得q^n-1（q+1）-2≥0此时关于n恒成立，

所以等价于n=2时，q（q+1）-2≥0，

所以，（q+2）（q-1）≥0，所以q≤-2，或q≥1，所以取q≥1，

当0＜q≤1时，得q^n-1（q+1）-2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n=2时，q（q+1）-2≤0，

所以（q+2）（q-1）≤0，所以-2≤q≤1，所以取0＜q≤1．

当-1≤q＜0时：q^n-1[q^n-1（q+1）-2]≤0，

当n为奇数时，得q^n-1（q+1）-2≤0，恒成立，当n为偶数时，q^n-1（q+1）-2≥0，不恒成立；

故当-1≤q＜0时，矛盾，舍去．

当q＜-1时，得q^n-1[q^n-1（q+1）-2]≤0，当n为奇数时，得q^n-1（q+1）-2≤0，恒成立，

当n为偶数时，q^n-1（q+1）-2≥0，恒成立；故等价于n=2时，q（q+1）-2≥0，

所以（q+2）（q-1）≥0，所以q≤-2或q≥1，所以取q≤-2，

综上q∈（-∞，-2]∪（0，+∞）．

（3）设a₁=p，p∈{3，4，…，m-3，m-2}，

因为a₁=p，a₂可以取p-1，或p+1，a₃可以取p-2，或p+2，

如果a₂或a₃取了p-3或p+3，将使{a_n}不满足性质P；所以{a_n}的前5项有以下组合：

①a₁=p，a₂=p-1；a₃=p+1；a₄=p-2；a₅=p+2；

②a₁=p，a₂=p-1；a₃=p+1；a₄=p+2；a₅=p-2；

③a₁=p，a₂=p+1；a₃=p-1；a₄=p-2；a₅=p+2；

④a₁=p，a₂=p+1；a₃=p-1；a₄=p+2；a₅=p-2；

对于①，b₁=p-1，|b₂-b₁|=2，|b₃-b₁|=1，与{b_n}满足性质P矛盾，舍去；

对于②，b₁=p-1，|b₂-b₁|=2，|b₃-b₁|=3，|b₄-b₁|=2与{b_n}满足性质P矛盾，舍去；

对于③，b₁=p+1，|b₂-b₁|=2，|b₃-b₁|=3，|b₄-b₁|=1与{b_n}满足性质P矛盾，舍去；

对于④b1=p+1，|b2-b1|=2，|b3-b1|=1，与{bn}满足性质P矛盾，舍去；

所以P∈{3，4，…，m-3，m-2}，均不能同时使{a_n}、{b_n}都具有性质P．

当p=1时，有数列{a_n}：1，2，3，…，m-1，m满足题意．

当p=m时，有数列{a_n}：m，m-，…，3，2，1满足题意．

当p=2时，有数列{a_n}：2，1，3，…，m-1，m满足题意．

当p=m-1时，有数列{a_n}：m-1，m，m-2，m-3，…，3，2，1满足题意．

所以满足题意的数列{a_n}只有以上四种．

【考点】数列的应用；等差数列与等比数列的综合．等比数列的实际应用

【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列；数学运算．

【分析】（1）根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P即可；

（2）假设公比q的等比数列满足性质p，可得：|a₁-a₁qⁿ|≥|a₁-a₁q^n-1|，推出（q-1）q^n-1(q^n-1（q+1）-2)≥0，通过q≥1，0＜q≤1时，-1≤q＜0时：q＜-1时，四种情况讨论求解即可．

（3）设a₁=p，分p=1时，当p=m时，当p=2时，当p=m-1时，以及P∈{3，4，…，m-3，m-2}，五种情况讨论，判断数列{a_n}的可能情况，分别推出{b_n}判断是否满足性质P即可．

【点评】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答．