设数列：A：a₁，a₂，…，a_n，B：b₁，b₂，…，b_n.已知a_i，b_j∈{0，1}（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n），定义n×n数表，其中x_ij.

（1）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；

（2）若A，B是不同的数列，求证：n×n数表X（A，B）满足“x_ij=x_ji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）”的充分必要条件为“a_k+b_k=1（k=1，2，…，n）”；

（3）若数列A与B中的1共有n个，求证：n×n数表X（A，B）中1的个数不大于.

答案

（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】

（1）根据题中给的定义写出X（A，B）；

（2）可先证充分性，充分性由定义易证；再证必要性，注意分类讨论:先分a₁=0和a₁=1两类，a₁=0较易证明，对a₁=1再分b₁=0和b₁=1两类证明，运用x_ij分析推理可得;

（3）根据数列A与B中的1共有n个，设A中1的个数为p，则A中0的个数为n﹣p，B中1的个数为n﹣p，B中0的个数为p.表示出n×n数表X（A，B）中1的个数，再用不等式证得n×n数表X（A，B）中1的个数不大于.

【详解】

（1）解：.

（2）证明：充分性

若a_k+b_k=1（k=1，2，…，n），由于x_ij，x_ji，

令 A：a₁，a₂，…，a_n，由此数列 B：1﹣a₁，1﹣a₂，…，1﹣a_n.

由于 a_i=b_j⇔a_i=1﹣a_j⇔a_i+a_j=1⇔a_j=1﹣a_i⇔a_j=b_i.

从而有 x_ij=x_ji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）.

必要性

若x_ij=x_ji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）.

由于A，B是不同的数列，

设a₁=1，b₁=0，对任意的正整数k＞1，

①若x_1k=x_k1=1，可得 a₁=b_k=1，a_k=b₁=0，

所以  a_k+b_k=1.

②若x_1k=x_k1=0，可得 b_k=0，a_k=1，

所以a_k+b_k=1.

同理可证 ，b₁=1时，有a_k+b_k=1（k=1，2，…，n）成立.

设a₁=1，b₁=1，对任意的正整数k＞1，

①若x_1k=x_k1=1，可得a₁=b_k=1，a_k=b₁=1，

所以有a_k=b_k=1，则A，B是相同的数列，不符合要求.

②若x_1k=x_k1=0，可得b_k=0，a_k=0，

所以有a_k=b_k，则A，B是相同的数列，不符合要求.

同理可证 a₁=0，b₁=0时，A，B是相同的数列，不符合要求.

综上，有n×n数表X（A，B）满足“x_ij=x_ji”的充分必要条件为“a_k+b_k=1（k=1，2，…，n）”.

（3）证明：由于数列A，B中的1共有n个，设A中1的个数为p，

由此，A中0的个数为n﹣p，B中1的个数为n﹣p，B中0的个数为p.

若 a_i=1，则数表X（A，B）的第i行为数列B：b₁，b₂，…，b_n，

若 a_i=0，则数表X（A，B）的第i行为数列B：1﹣b₁，1﹣b₂，…，1﹣b_n，

所以 数表X（A，B）中1的个数为.

所以 n×n数表X（A，B）中1的个数不大于.

【点睛】

本题是以数列、矩阵和分段函数为背景的新概念题目，考查学生的理解能力，应用能力，分类讨论思想，是一道较难的综合题.