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更新时间:2021/01/06
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1.

设数列:Aa1a2anBb1b2bn.已知aibj∈{01}i=12nj=12n),定义n×n数表,其中xij.

1)若A1110B0100,写出XAB);

2)若AB是不同的数列,求证:n×n数表XAB)满足xij=xjii=12nj=12nij的充分必要条件为ak+bk=1k=12n

3)若数列AB中的1共有n个,求证:n×n数表XAB)中1的个数不大于.

【知识点】数列
【答案】

1;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【分析】

1)根据题中给的定义写出XAB);

2)可先证充分性,充分性由定义易证;再证必要性,注意分类讨论:先分a1=0a1=1两类,a1=0较易证明,对a1=1再分b1=0b1=1两类证明,运用xij分析推理可得;

3)根据数列AB中的1共有n个,设A1的个数为p,则A0的个数为npB1的个数为npB0的个数为p.表示出n×n数表XAB)中1的个数,再用不等式证得n×n数表XAB)中1的个数不大于.

【详解】

1)解:.

2)证明:充分性

ak+bk=1k=12n),由于xijxji

Aa1a2an,由此数列 B1a11a21an.

由于 ai=bjai=1ajai+aj=1aj=1aiaj=bi.

从而有 xij=xjii=12nj=12nij.

必要性

xij=xjii=12nj=12nij.

由于AB是不同的数列,

a1=1b1=0,对任意的正整数k1

x1k=xk1=1,可得 a1=bk=1ak=b1=0

所以  ak+bk=1.

x1k=xk1=0,可得 bk=0ak=1

所以ak+bk=1.

同理可证 b1=1时,有ak+bk=1k=12n)成立.

a1=1b1=1,对任意的正整数k1

x1k=xk1=1,可得a1=bk=1ak=b1=1

所以有ak=bk=1,则AB是相同的数列,不符合要求.

x1k=xk1=0,可得bk=0ak=0

所以有ak=bk,则AB是相同的数列,不符合要求.

同理可证 a1=0b1=0时,AB是相同的数列,不符合要求.

综上,有n×n数表XAB)满足xij=xji的充分必要条件为ak+bk=1k=12n.

3)证明:由于数列AB中的1共有n个,设A1的个数为p

由此,A0的个数为npB1的个数为npB0的个数为p.

ai=1,则数表XAB)的第i行为数列Bb1b2bn

ai=0,则数表XAB)的第i行为数列B1b11b21bn

所以 数表XAB)中1的个数为.

所以 n×n数表XAB)中1的个数不大于.

【点睛】

本题是以数列、矩阵和分段函数为背景的新概念题目,考查学生的理解能力,应用能力,分类讨论思想,是一道较难的综合题.

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收录时间:2021-01-06
题型:解答题
难度:偏难
组卷次数:100
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更新:2021
年级:高中
学科:数学
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