若数列满足
,且存在常数
,使得对任意的
都有
,则称数列
为“k控数列”.
(1)若公差为d的等差数列是“2控数列”,求d的取值范围;
(2)已知公比为的等比数列
的前n项和为
,数列
与
都是“k控数列”,求q的取值范围(用k表示).
(1)(2)
.
【分析】
(1)根据“控数列”的定义得出
,则由等差数列的通项公式可得
对
恒成立,求出公差
的取值范围;
(2)由等比数列为“
控数列”得
,又
是“
控数列”得
,分类讨论求出q的取值范围.
【详解】
(1)因为公差为的等差数列
是“2控数列”,所以
,所以
,
即,
所以
由得所以
,又
,所以
,
由得:
当时,
,所以
;
当时,
成立;
当时,
,又
,所以
;
综上,,
所以的取值范围是
;
(2)因为数列是公比为
的等比数列且为“
控数列”,所以
,显然
,故
.
易知,要使
是“
控数列”,
则,
(ⅰ)当时,
,
令,则
递减,
所以,
所以,即
.
要使存在,则
得
;
(ⅱ)当时,
,
令,则
递减,
,
所以,又
,所以
,
要使存在,需
,得
综上,当时,公比
的取值范围是
.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的前项和公式,数列不等式的恒成立问题,考查了分类讨论的思想,考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.