若数列满足,且存在常数,使得对任意的都有,则称数列为“k控数列”.
(1)若公差为d的等差数列是“2控数列”,求d的取值范围;
(2)已知公比为的等比数列的前n项和为,数列与都是“k控数列”,求q的取值范围(用k表示).
(1)(2).
【分析】
(1)根据“控数列”的定义得出,则由等差数列的通项公式可得对恒成立,求出公差的取值范围;
(2)由等比数列为“控数列”得,又是“控数列”得,分类讨论求出q的取值范围.
【详解】
(1)因为公差为的等差数列是“2控数列”,所以,所以,
即,
所以
由得所以,又,所以,
由得:
当时,,所以;
当时,成立;
当时,,又,所以;
综上,,
所以的取值范围是;
(2)因为数列是公比为的等比数列且为“控数列”,所以,显然,故.
易知,要使是“控数列”,
则,
(ⅰ)当时,,
令,则递减,
所以,
所以,即.
要使存在,则得;
(ⅱ)当时,,
令,则递减,,
所以,又,所以,
要使存在,需,得
综上,当时,公比的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的前项和公式,数列不等式的恒成立问题,考查了分类讨论的思想,考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.
数列的定义:
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
1、定义:一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
从函数角度看数列:
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'(或它的有限子集{l,2,3,…,n})的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,这里说的函数是一种特殊函数,其特殊性为自变量只能取正整数,且只能从I开始依次增大.可以将序号作为横坐标,相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列,从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒:
①数列是一个特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题;
②还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N'或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性.
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