已知数列 的前 项和为 ，当 时， ，数列 中， ，直线 经过点 .

（ 1 ）求数列 、 的通项公式 和 ；

（ 2 ）设 ，求数列 的前 项和 ，并求 的最大整数 .

答案

（ 1 ） ， ；（ 2 ） ， .

【分析】

（ 1 ）令 可求得 的值，令 ，由 可得出 ，两式作差可推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列 的通项公式，将点 的坐标代入直线 的方程，可得出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公式，进而可求得数列 的通项公式；

（ 2 ）利用错位相减法可求得数列 的前 项和 ，再利用数列 的单调性可求出使得不等式 成立的最大正整数 的值 .

【详解】

（ 1 ）对任意的 时， .

当 时，可得 ，可得 ；

当 时，由 可得出 ，

两式作差得 ，整理得 ，

所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 .

因为直线 经过点 ，则 ，可得 .

又 ，所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，则 ；

（ 2 ） ，

， ①

， ②

② ① 得 ，

，则数列 为单调递增数列，

， ，且 ，

因此，使得 的最大整数 的值为 .

【点睛】

本题考查利用 求 、等差数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题 .