已知数列 的前
项和为
,当
时,
,数列
中,
,直线
经过点
.
( 1 )求数列 、
的通项公式
和
;
( 2 )设 ,求数列
的前
项和
,并求
的最大整数
.
( 1 ) ,
;( 2 )
,
.
【分析】
( 1 )令 可求得
的值,令
,由
可得出
,两式作差可推导出数列
为等比数列,确定该数列的首项和公比,可求得数列
的通项公式,将点
的坐标代入直线
的方程,可得出数列
为等差数列,确定该数列的首项和公式,进而可求得数列
的通项公式;
( 2 )利用错位相减法可求得数列 的前
项和
,再利用数列
的单调性可求出使得不等式
成立的最大正整数
的值 .
【详解】
( 1 )对任意的 时,
.
当 时,可得
,可得
;
当 时,由
可得出
,
两式作差得 ,整理得
,
所以,数列 是以
为首项,以
为公比的等比数列,则
.
因为直线 经过点
,则
,可得
.
又 ,所以,数列
是以
为首项,以
为公差的等差数列,则
;
( 2 ) ,
, ①
, ②
② ① 得
,
,则数列
为单调递增数列,
,
,且
,
因此,使得 的最大整数
的值为
.
【点睛】
本题考查利用 求
、等差数列通项公式的求解,同时也考查了错位相减法,考查计算能力,属于中等题 .
数列的定义:
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
1、定义:一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
从函数角度看数列:
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'(或它的有限子集{l,2,3,…,n})的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,这里说的函数是一种特殊函数,其特殊性为自变量只能取正整数,且只能从I开始依次增大.可以将序号作为横坐标,相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列,从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒:
①数列是一个特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题;
②还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N'或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性.
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