已知数列 是等差数列,其前 项和为 ,数列 是等比数列,且 , , .
( 1 )求数列 与 的通项公式;
( 2 )设 ,求数列 的前 项的和 .
( 1 ) a n = 3 n ﹣ 1 , b n = 2 n , n ∈N * .( 2 )
【分析】
( 1 )设等差数列 { a n } 的公差为 d ,等比数列 { b n } 的公比为 q ,运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,列方程,解方程可得公差和公比,即可得到所求通项公式;
( 2 )求出 c n =( 3 n ﹣ 1 ) •2 n ,运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简整理,即可得到所求和.
【详解】
解:( 1 )设等差数列 { a n } 的公差为 d ,等比数列 { b n } 的公比为 q .
由 a 1 = b 1 = 2 ,得 a 4 = 2+3 d , b 4 = 2 q 3 , S 4 = 8+6 d .
由条件,得方程组 ,解得 ,
所以 a n = 3 n ﹣ 1 , b n = 2 n , n ∈N * .
( 2 )由题意可得 ①
②
由 ① ﹣ ② ,得
= 4+3• ﹣( 3 n ﹣ 1 ) •2 n +1 ,
∴ .
【点睛】
本题考查错位相减法求和,属于中档题 . 方法点睛:( 1 )写出各项的和;( 2 )等式的左右两边同时乘以公比;( 3 )错位相减;( 4 )除去首项和尾项,中间的 项为等比数列,用等比数列求和公式求和;( 5 )整理化简即可 .
数列的定义:
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
1、定义:一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。
从函数角度看数列:
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'(或它的有限子集{l,2,3,…,n})的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,这里说的函数是一种特殊函数,其特殊性为自变量只能取正整数,且只能从I开始依次增大.可以将序号作为横坐标,相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列,从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒:
①数列是一个特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题;
②还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N'或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性.
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