已知数列 是等差数列，其前 项和为 ，数列 是等比数列，且 ， ， .

（ 1 ）求数列 与 的通项公式；

（ 2 ）设 ，求数列 的前 项的和 .

答案

（ 1 ） a _n ＝ 3 n ﹣ 1 ， b _n ＝ 2 ⁿ ， n ∈N ^* ．（ 2 ）

【分析】

（ 1 ）设等差数列 { a _n } 的公差为 d ，等比数列 { b _n } 的公比为 q ，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，列方程，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；

（ 2 ）求出 c _n ＝（ 3 n ﹣ 1 ） •2 ⁿ ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

【详解】

解：（ 1 ）设等差数列 { a _n } 的公差为 d ，等比数列 { b _n } 的公比为 q ．

由 a ₁ ＝ b ₁ ＝ 2 ，得 a ₄ ＝ 2+3 d ， b ₄ ＝ 2 q ³ ， S ₄ ＝ 8+6 d ．

由条件，得方程组 ，解得 ，

所以 a _n ＝ 3 n ﹣ 1 ， b _n ＝ 2 ⁿ ， n ∈N ^* ．

（ 2 ）由题意可得 ①

②

由 ① ﹣ ② ，得

＝ 4+3• ﹣（ 3 n ﹣ 1 ） •2 ^{n +1} ，

∴ ．

【点睛】

本题考查错位相减法求和，属于中档题 . 方法点睛：（ 1 ）写出各项的和；（ 2 ）等式的左右两边同时乘以公比；（ 3 ）错位相减；（ 4 ）除去首项和尾项，中间的 项为等比数列，用等比数列求和公式求和；（ 5 ）整理化简即可 .