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使用次数:225
更新时间:2021-09-14
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1.

已知正项数列 的前 n 项和 满足

1 )求数列 的通项公式;

2 )若 n N * ),求数列 的前 n 项和 ;

3 )是否存在实数 使得 恒成立,若存在,求实数 的取值范围,若不存在说明理由.

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题型:解答题
知识点:数列
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【答案】

1 2 3 )存在,

【分析】

1 )根据 的关系 ,即可求出 的通项公式;

2 )由 ,可采用裂项相消法求数列 的前 n 项和

3 )假设存在实数 λ ,使得 对一切正整数恒成立,

对一切正整数恒成立,只需满足 即可,利用作差法得出 其单调性,即可求解.

【详解】

1 )当 n =1 时, a 1 =2 -1 (舍去).

n ≥2 时,

整理可得:( a n + a n -1 )( a n - a n -1 -1 =0 ,可得 a n - a n -1 =1

∴{ a n } 是以 a 1 =2 为首项, d =1 为公差的等差数列.

2 )由( 1 )得 a n = n +1

3 )假设存在实数 λ ,使得 对一切正整数恒成立,

对一切正整数恒成立,只需满足 即可,

,则

f 1 =1 f 2 = f 3 = f 5 )> f 6 )>

n =3 时有最小值 ,所以

【点睛】

本题主要考查利用 的关系 求通项公式,裂项相消法求

数列的前 n 项和,以及不等式恒成立问题的解法应用,综合性较强,属于较难题.

=
考点梳理:
根据可圈可点权威老师分析,试题“ ”主要考查你对 数列的概念及简单表示法 等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下:
◎ 数列的概念及简单表示法的定义

数列的定义:

一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。

◎ 数列的概念及简单表示法的知识扩展

1、定义:一般地按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项,数列的一般形式可以写成,简记为数列{an},其中数列的第一项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项2、数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1或前几项)间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数列的一种方法。

◎ 数列的概念及简单表示法的知识拓展

从函数角度看数列

数列可以看作是一个定义域为正整数集N'(或它的有限子集{l,2,3,…,n})的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,这里说的函数是一种特殊函数,其特殊性为自变量只能取正整数,且只能从I开始依次增大.可以将序号作为横坐标,相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列,从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒:
①数列是一个特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题;
②还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N'或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性.

◎ 数列的概念及简单表示法的教学目标
1、理解数列的概念。
2、理解数列的函数性质。
3、会正确地表示数列。
◎ 数列的概念及简单表示法的考试要求
能力要求:应用
课时要求:35
考试频率:常考
分值比重:6
类题推荐:
数列
难度:
使用次数:108
更新时间:2009-03-16
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题型:计算题
知识点:数列
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